2.5 角平分线的性质 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

2.5 角平分线的性质 1 （一）知识回顾 1、角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O B C A 1 2 符号语言： ∵射线OC是∠AOB的角平分线 ∴ ∠1= ∠2 2 2 2、点到直线距离: 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离. O P A B 垂线段PO的长度 3 3 （1）圆可以看做是 的集合. 3.学过的集合定义： （2）线段垂直平分线可以看做是 的集合. 到定点距离等于定长的所有点 到线段两端点的距离相等的所有点 4 1.探索角的轴对称性质，丰富学生的数学活动经验，发展空间观念。 2.探索并理解角平分线的性质。（重难点） 3.能用尺规完成基本作图：做一个角的平分线。 学习目标： 1.仔细研读课本P51-52实验与探究（1）~（3），并试着动手操作： 在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ C B A D 活动一：探究角的轴对称性 自主学习（一）8min 6 结论： 角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. 7 2.请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由. 结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 活动二：探索角平分线的第一个性质 C B M A P N D 8 已知：AD是∠BAC的角平分线,点P是AD上任意一点，PM⊥AB，PN⊥AC.求证：PM=PN C B M A P N D 1 2 证明：∵AD平分∠BAC ∴ ∠1= ∠2 ∵PM⊥AB PN⊥AC ∴ ∠ AMP=∠ANP=90º 在△AMP与△ANP中 ∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN 9 角平分线的性质1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. C B M A P N D 应用所具备的条件： （1）AD为角的平分线； （2）点P在该平分线上； （3）PM⊥AB PN⊥AC 作用：判断线段相等的依据. 符号语言： ∵AD平分∠BAC ，PM⊥AB ， PN⊥AC ∴PM=PN 10 10 测：判断正误，并说明理由： 1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分别在OA、OB上，则PD=PE . ( ) 2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PE=PF. ( ) （1题） （2题） × × 11 3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA 的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( ) （3题） √ 12 反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ B 结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 活动三：探索角平分线的第二个性质 运用三角形全等是否可以证明呢？ 13 13 角平分线的性质2 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件： （1）点P在∠BAC的内部； （2）PM⊥AB PN⊥AC； （3）PM=PN 作用：判断点是否在角平分线上的依据. 符号语言： ∵ PM⊥AB PN⊥AC PM=PN ∴点P在∠BAC的角平分线上 ∴∠1=∠2 C B M A P N D 1 2 14 14 解：相等 证明：∵ PE⊥OA,PF⊥OB, PE=PF ∴ OP为∠AOB的平分线,（角平分线的性质2） ∵ QM⊥OA,QN⊥OB ∴ QM=QN（角平分线的性质1) 测：如图，P是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F，且PE =PF . Q是OP 上的任意一点，QM⊥OA， QN⊥OB，垂足分别为点 M 和N . QM与QN相等吗？为什么？ 15 B C A E F P 已知：∠BAC 求作：∠BAC 的平分线. 活动四: 用尺规作角的平分线 自主学习（二