2.4.1线段的垂直平分线 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

2.4.1线段的垂直平分线 观察 如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA′有什么关系？ 我发现 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图. 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 如图，在线段AB的垂直平分线l 上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？ 探究 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 探究 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB. (A) (B) B A P l 结论 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 由此得出线段垂直平分线的性质定理： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 动脑筋 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （1）当点P在线段AB上时， 因为PA=PB， 所以点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （2）当点P在线段AB外时，如下图所示. 因为PA=PB， 所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 结论 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____. A B E D C （1） 4cm 6cm 练习 2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 AB与CD相交于点O ∴ AO=BO. 练习 3.如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm. A B C D E (2) 26 练习 4.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果 AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（ ）cm。 ∟ A D E B C M N A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9 练习 做一做 如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线. 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 想一想，做一做 用尺规作线段的垂直平分线． 已知：线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线． 作法：1．分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D． 2．作直线CD． 直线CD就是线段AB的垂直平分线． D C B A 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线 一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的