第02讲 二项式定理-2024年高考数学《考点•题型•测试》一轮高效复习精讲精练（新高考地区专用）

第02讲：二项式定理 一：二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 二：二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk. 【方法技巧】 1.二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性与最大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的； 当k>时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 2：一般地，若. （1）； （2）展开式各项系数和为； （3）奇数项系数之和为；（4）偶数项系数之和为. 题型一：求二项展开式第k项问题 1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知的展开式中的常数项是672，则（    ） A． B． C．2 D．1 2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）的展开式中的常数项是（    ） A． B．20 C． D．160 3．（2022·贵州贵阳·统考二模）若展开式中存在常数项，则正整数n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型二：多项式展开式问题 4．（2019·四川绵阳·统考三模）在的展开式中，项的系数为（　　） A． B． C．30 D．50 5．（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 6．（2021·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）将多项式分解因式得，则（    ） A．16 B．14 C． D． 题型三：二项式系数问题 7．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（    ） A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项 8．（2023·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）已知，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 9．（2023·广东惠州·统考一模）已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（    ） A． B． C． D． 题型四：项的系数问题 10．（2023·河南·统考三模）已知的展开式中的系数为，则实数（    ） A．2 B． C．1 D． 11．（2023·河南郑州·统考模拟预测）的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 12．（2023·浙江·二模）已知（）的展开式中含项系数为，则含项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型五：二项式系数之和问题 13．（2023·山东德州·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知，则下列描述正确的是         （    ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 15．（2023·北京海淀·统考一模）若，则（    ） A． B．1 C．15 D．16 题型六：二项式定理的应用 16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知（，2，⋯，95），则数列中整数项的个数为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 17．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）若，则被8整除的余数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．（2022·重庆永川·重庆市永川北山中学校校考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型七：二项式定理综合问题 19．（2021·湖北襄阳·襄阳四中校考一模）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合. （1）记杨辉三角的前行所有数之和为，求的通项公式； （2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由； （3）已知、为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数、、、不能构