4.4 对数函数（十三大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

4．4 对数函数 【题型归纳目录】 题型一：对数函数定义的判断 题型二：利用对数函数的定义求参数 题型三：求对数函数的表达式 题型四：对数型函数过定点问题 题型五：对数函数的图象问题 题型六：对数函数的定义域 题型七：对数函数的值域与最值 题型八：对数函数的单调性及其应用 题型九：比较指数幂的大小 题型十：解对数型不等式 题型十一：判断对数函数的奇偶性 题型十二：反函数 题型十三：对数函数性质的综合应用 【知识点梳理】 知识点一、对数函数的概念 1、函数叫做对数函数．其中是自变量，函数的定义域是，值域为． 2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 知识点诠释： （1）只有形如的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数． （2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论． 知识点二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 知识点诠释： 关于对数式的符号问题，既受．．的制约又受的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错．下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考． 以1为分界点，当，同侧时，；当，异侧时，． 知识点三、底数对对数函数图象的影响 1、底数制约着图象的升降． 如图 知识点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略． 2、底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图） 知识点四、反函数 1、反函数的定义 设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为． 由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域． 知识点诠释： 并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数． 2、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称． （2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上． 【典型例题】 题型一：对数函数定义的判断 例1．（2023·上海·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·高一校考课时练习）下列函数中，是对数函数的有 ①；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·高一单元测试）下列函数中，是对数函数的是（    ） A．y＝logxa(x>0且x≠1) B．y＝log2x－1 C． D．y＝log5x 变式2．（2023·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 【方法技巧与总结】 判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量． 题型二：利用对数函数的定义求参数 例4．（2023·全国·高一专题练习）函数是对数函数，则实数a＝ . 例5．（2023·北京东城·高一校考期中）函数为对数函数，则 ． 例6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是对数函数，则 ． 变式3．（2023·高一课时练习）若函数是对数函数，则 . 变式4．（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)=(a2+a-5)logax是对数函数，则a= . 变式5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数，则 ． 【方法技巧与总结】 的系数为1 题型三：求对数函数的表达式 例7．（2023·高一课时练习）如果函数对任意的正实数a，b，都有，则这样的函数可以是 （写出一个即可） 例8．（2023·全国·高一专题练习）若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 例9．（2