4.3 对数（九大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

4.3 对数 【题型归纳目录】 题型一：对数的定义 题型二：指数式与对数式互化及其应用 题型三：利用对数恒等式化简求值 题型四：积、商、幂的对数 题型五：一类与对数有关方程的求解问题 题型六：对数运算法则的应用 题型七：换底公式的运用 题型八：由已知对数求解未知对数式 题型九：证明常见的对数恒等式 【知识点梳理】 知识点一、对数概念 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点二、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 知识点三、对数公式 1、对数恒等式： 2、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． 【典型例题】 题型一：对数的定义 例1．（2023·上海·高一专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高一专题练习）给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2023·全国·高一专题练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·全国·高一专题练习）使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2023·四川广安·高一广安二中校考期中）使有意义的实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 题型二：指数式与对数式互化及其应用 例4．（2023·江苏·高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 例5．（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 例6．（2023·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．（2023·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4．（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【方法技巧与总结】 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 题型三：利用对数恒等式化简求值 例7．（2023·河南·高三阶段练习）计算：___________.（可保留根式） 例8．（2023·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________． 变式5．（2023·贵州·遵义四中高一期末）______． 【方法技巧与总结】 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 题型四：积、商、幂的对数 例10．（2023·江苏·高一专题练习）计算： (1)； (2)． 例11．（2023·北京东城·高一校考期中）计算 ；     ； ． 例12．（2023·全国·高一专题练习） ． 变式6．（2023·江苏·高一专题练习）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学