4.2 指数函数（十大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

4．2 指数函数 【题型归纳目录】 题型一：指数函数定义的判断 题型二：给出解析式求函数的定义域 题型三：求指数函数的表达式 题型四：指数型函数过定点问题 题型五：指数函数的图象问题 题型六：指数函数的定义域、值域 题型七：指数函数的单调性及其应用 题型八：比较指数幂的大小 题型九：解指数型不等式 题型十：判断函数的奇偶性 【知识点梳理】 知识点一、指数函数的概念： 函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为． 知识点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果，则 ②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，则是个常量，就没研究的必要了． 知识点二、指数函数的图象及性质： 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；当时，． 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ①，②，③，④，则： 又即：时，（底大幂大） 时， （2）特殊函数 ，，，的图像： 【方法技巧与总结】 1、指数式大小比较方法 （1）单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． （2）中间量法 （3）分类讨论法 （4）比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若；；； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可． 2、简单指数不等式的解法 （1）形如的不等式，可借助的单调性求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解． 【典型例题】 题型一：指数函数定义的判断 例1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·高一单元测试）下列函数中，是指数函数的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．0 变式1．（2023·高一课时练习）下列是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2023·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式3．（2023·江苏·高一专题练习）下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（    ） A．y＝(－4)x B．y＝λx(λ>1) C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1) 【方法技巧与总结】 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 题型二：利用指数函数的定义求参数 例4．（2023·上海·高一专题练习）若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 例5．（2023·高一课时练习）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 例6．（2023·全国·高一专题练习）若是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 变式4．（2023·高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知函数和都是指数函数，则（    ） A．不确定 B． C．1 D． 变式6．（2023·高一课时练习）若函数是指数函数，则（    ） A． B． C．或 D．且 【方法技巧与总结】 系数为1． 题型三：求指数函数的表达式 例7．（2023·全国·高一专题练习）若指数函数的图象经过点，则 ． 例8．（2023·上海·高一专题练习）若指数函数的图像经过点，则其解析式为 ． 例9．（2023·甘肃武威·高一统考开学考试）已知函数的图像过点，则 变式7．（2023·重庆江北·高一重庆十八中校考期末）写出定义域为且同时满足下列三个条件的函数的表达式： . （1）；（2）在上单调递增；（3）的值域为. 变式8．（2023·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知函数为偶