4.1 指数（六大题型）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义（人教A版2019必修第一册）

4.1 指数 【题型归纳目录】 题型一：由根式的意义求范围 题型二：利用根式的性质化简或求值 题型三：有限制条件的根式的化简 题型四：根式与指数幂的互化 题型五：利用分数指数幂的运算性质化简求值 题型六：整体代换法求分数指数幂 【知识点梳理】 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 1、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 2、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 1、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 2、指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 知识点五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 知识点六、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 【典型例题】 题型一：由根式的意义求范围 例1．（2023·江苏·高一假期作业）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B．∪ C． D． 例2．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·江苏·高一假期作业）若有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．x∈R 变式2．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 变式3．（2021·江苏·高一专题练习）若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【方法技巧与总结】 使根式有意义 题型二：利用根式的性质化简或求值 例4．（2023·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 例5．（2023·江苏省江浦高级中学高一阶段练习）下列各式中成立的一项是（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·全国·高一专题练习）=__________. 变式4．（2023·全国·高一专题练习）计算： (1)； (2)． =0 变式5．（2023·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）化简的结果是（    ） A．0 B． C．0或 D． 【方法技巧与总结】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 题型三：有限制条件的根式的化简 例7．（2023·上海·高一专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围. 例8．（2023·全国·高一专题练习）已知，化简：______． 例9．（2023·全国·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 变式6．（2023·全国·高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_______________． 【方法技巧与总结】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 题型四：根式与指数幂的互化 例10．（2023·江苏·高一专题练习）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)