12.3 成对数据的统计相关性、一元线性回归模型-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

12．3　成对数据的统计相关性、一元线性回归模型

课程标准

1．结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系．　2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．　3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件．　4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．　

 

授课提示：对应学生用书第264页

知识点一　变量间的相关关系

1．变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．

(2)如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关．

正相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关．如图(1)．

负相关：如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．如图(2)．

2．散点图

一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示.

则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i＝1,2,3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图．

知识点二　相关系数

1．r＝

＝来衡量y与x的线性相关性强弱，这里的r称为线性相关系数(简称为相关系数)．

2．相关系数的性质

(1)|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0.

(2)|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值．

(3)|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归线上．

知识点三　一元线性回归模型

1．一元线性回归模型

x与Y的关系可以表示为Error!

我们称上式为Y关于x的一元线性回归模型．

Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a和b为模型未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的随机误差．

2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计

(1)经验回归方程

我们将＝x＋，

其中Error!

称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数，或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．

这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计．

(2)残差分析

对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析．

1．经验回归直线一定过样本点中心(，)．

2．由经验回归方程求出的并不一定是真实值，即回归直线不一定过样本点．

3．如果在残差的散点图中，残差比较均匀地分布在横轴两边，说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0，方差为σ2的随机变量的观测值．

4．可以通过比较残差的平方和(yi－)2来比较两个模型的效果，残差平方和越小，拟合效果越好，也可以用R2比较，R2＝1－，R2越大，效果越好．