12.2 用样本估计总体-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

12．2　用样本估计总体 课程标准 1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．　2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．　 授课提示：对应学生用书第259页 知识点一　众数、中位数、平均数 数字特征 概念 优点与缺点 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝ 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 知识点二　百分位数 　一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 知识点三　标准差、方差 1．标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ . 2．方差：标准差的平方s2. s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数． 巧用三个有关的结论 (1)若x1，x2，…，xn的平均数为1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a. (2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变． (3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 　 [对点自测] 1．(知识点三)已知样本数据3,5,7,4,6，则该样本标准差为(　　) A．1　　　　　　　　 B. C. D．2 答案：B 2．(知识点一)10名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 答案：D 3．(知识点二)一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，则该组数据的第75百分位数为________． 解析：20×0.75＝15. 故第75百分位数为＝14.5. 答案：14.5 4．(知识点三)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1,10x2，…，10xn的方差为________． 答案：1 授课提示：对应学生用书第260页 　　互动探究 [例]　(1)从某中学抽取10名同学，他们的数学成绩如下：82,85,88,90,92,92,92,96,96,98(单位：分)，则这10名同学数学成绩的众数、第25百分位数分别为(　　) A．92,85　　　　　　　 B．92,88 C．95,88 D．96,85 [解析]　数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；将一组数据按照由小到大的顺序排列，计算10×25%＝2.5，取第三个数，第25百分位数是88. [答案]　B (2)(2023·济南市学情检测)酒后驾驶是严重危害交通安全的行为．某交通管理部门对辖区内四个地区(甲、乙、丙、丁)的酒驾治理情况进行检查督导．若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”．根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是(　　) A．甲地：平均数为4，中位数为5 B．乙地：众数为3，中位数为2 C．丙地：平均数为7，方差为2 D．丁地：极差为3,75%分位数为8 [解析]　对于A，若甲地连续8天的数据为0,0,0,5,5,5,6,11，则平均数为4，中位数为5，但不符合“该地区酒驾治理达标”的要求，所以A不符合题意；对于B，若乙地连续8天的数据为0,0,1,1,3,3,3,22，则众数为3，中位数为2，但不符合“该地区酒驾治理达标”的要求，所以B不符合题意；对于C，若丙地连续8天检查所得数据的平均数为7，假设丙地区某一天的数据为11，则s2>＝2， 其方差不可能为2，则不可能有一天的数据超过10，符合“该地区酒驾治理达标”的要求，所以C符合题意；对于D，若丁地连续8天的数据为8,8,8,8,8,8,8,11，则极差为3,75%分位数为8，但不符合“该地区酒驾治理达标”的要求，所以D不符合题意．综上，选