10.3 二项式定理-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

10．3　二项式定理 课程标准 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．　2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．　 授课提示：对应学生用书第228页 知识点一　二项式定理 1．二项式定理 (1)定理：公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理． (2)通项：Tk＋1＝Can－kbk为展开式的第 k＋1项． 2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C(k∈)叫做二项式系数． (2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包含符号等，与二项式系数是两个不同的概念． 知识点二　二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 性质 内容 对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 当k＜时，二项式系数逐渐增大； 当k＞时，二项式系数逐渐减小 最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为Cn； 当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn或Cn 2.各二项式系数的和 (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [对点自测] 1．(知识点一)(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　) A．C　　　　　　　　 B．－C C．C D．－C 答案：D 2．(知识点一、二)(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A．74 B．121 C．－74 D．－121 解析：－C－C－C－C＝－121. 答案：D 3．(知识点一)(x－y)n展开式中第5项为________．(n≥5) 解析：Cxn－4·(－y)4＝Cxn－4·y4. 答案：Cxn－4·y4 4．(知识点一、二)在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________． 答案：1 授课提示：对应学生用书第229页 　　多维探究 [例1]　(1)(2023·江苏泰州二调)设(1＋3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若a5＝a6，则n＝(　　) A．6　　　　　　　　　　 B．7 C．10 D．11 [解析]　∵a5＝C·35，a6＝C·36， ∴C·35＝C·36，∴n＝7. [答案]　B (2)在6的展开式中，x6的系数是________． [解析]　Tr＋1＝C26－r·x18－4r. 令18－4r＝6，∴r＝3， ∴T4＝C23＝160. [答案]　160 (3)4的展开式中的常数项是________． [答案]　－4 (4)(2023·南京市六校联考)已知(x＋ay)3的展开式中含x2y项的系数为6，则实数a的值为________． [解析]　展开式的第r＋1 项为Tr＋1＝Cx3－r(ay)r. 因为展开式中含x2y项的系数为6， 所以 所以r＝1，所以Ca＝6，解得a＝2. [答案]　2 [例2]　(1)(2023·唐山摸底)在(x＋y)(x－y)5的展开式中，x3y3的系数是(　　) A．－10 B．0 C．10 D．20 [解析]　法一：(x－y)5展开式的通项公式为Tk＋1＝(－1)kCx5－kyk(k＝0,1,2,3,4,5)，所以(x＋y)(x－y)5展开式的通项为(－1)kCx6－kyk或(－1)kCx5－kyk＋1，则当k＝3时，有(－1)kCx6－kyk＝－10x3y3，当k＝2时，有(－1)kCx5－kyk＋1＝10x3y3，所以x3y3的系数为0. 法二：(x＋y)(x－y)5＝(x＋y)(x－y)(x－y)(x－y)·(x－y)(x－y)，要想出现x3y3，有两种情况：(1)先在第一个多项式中取x，再在后五个多项式中任选两个多项式，在这两个多项式中取x，最后在余下的三个多项式中取－y，所以有xCx2(－y)3＝－10x3y3；(2)先在第一个多项式中取y，再在后五个多项式中任选三个多项式，在这三个多项式中取x，最后在余下的两个多项式中取－y，所以有yCx3(－y)2＝10x3y3.所以x3y3的系数为0. [答案]　B (2)(2023·山西大同期末)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 [解析]　x2的系数为C＋aC＝5， 所以a＝－1. [答案]　D (3)(2022·杭州市质检)已知(x2＋1)(2x－1)7 ＝a0＋a1 (x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9(x∈R)，则a1＝(　　) A．－30 B．30 C．－40 D．40 [解析]　令t＝x－1，