10.2 排列与组合-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

10．2　排列与组合 课程标准 1．理解排列、组合的概念．　2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．　 授课提示：对应学生用书第224页 知识点一　排列与排列数 1．排列与排列数 (1)排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A. 2．排列数公式及性质 (1)排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝(m，n∈N*且m≤n)． (2)性质 ①A＝n！； ②0！＝1. 知识点二　组合与组合数 1．组合与组合数 (1)组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C. 2．组合数公式及性质 (1)组合数公式 C＝ ＝ ＝(n，m∈N*且m≤n)． (2)组合数性质 ①C＝1； ②C＝； ③C＋C＝C. [对点自测] 1．(知识点一)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　) A．144　　　　　　　　 B．120 C．72 D．24 解析：从4个位置中随机选3个排列，即A＝24. 答案：D 2．(知识点二)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是(　　) A．18 B．24 C．30 D．36 解析：CC＋CC＝30. 答案：C 3．(知识点一、二)A＋C＝(　　) A．35 B．47 C．45 D．57 答案：B 4．(知识点二)从A，B，C，D中任取3个元素的所有组合为________． 答案：ABC，ABD，ACD，BCD 授课提示：对应学生用书第225页 　　互动探究 [例]　3名女生和5名男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙前面(可不相邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？ [解]　(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法． (2)(插空法)先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法． (3)法一：(位置分析法)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法． 法二：(元素分析法)从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法． (4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，所以符合要求的排法种数为A＝20 160(种)． (5)甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置． 法一：(特殊元素法)甲在右端时，其他的可全排，有A种；甲不在右端时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去右端位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种．由分类加法计数原理，共有A＋A·A·A＝30 960(种)． 法二：(特殊位置法)先排左端，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在右端时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960(种)． 法三：(间接法)8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在左端时，有A种，乙在右端时，有A种，其中都包含了甲在左端，同时乙在右端的情形，有A种．因此共有A－2A＋A＝30 960(种)． 技法点拨 解决排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 消序法 定序问题消序(除法)处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列 链接高考 (2022·新高考全国Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演．若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(　　) A．12种　　　　　　 B．24种 C．36种 D．48种 解析：丙和丁相邻共有A·A种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有C·A·A种站法，所