9.4 第3课时 求值与证明问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

第三课时　求值与证明问题 授课提示：对应学生用书第218页 　　互动探究 [例]　(2023·贵阳摸底)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：y＝kx＋m(k＜0)与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程． [解]　(1)∵椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，∴＝. 又双曲线－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－y＝0， 椭圆C的焦点F1(－c,0)， ∴＝，解得c＝1， ∴a＝，b＝1， ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)知F2(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由原点O到直线l：y＝kx＋m(k＜0)的距离为，得＝， 即m2＝(1＋k2)．① 将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， ∴Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(2k2－m2＋1)＞0， x1＋x2＝－，x1x2＝. 又以线段AB为直径的圆经过点F2， ∴·＝0， 即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， ∴(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 即(1＋k2)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0， ∴(1＋k2)·＋(km－1)·＋m2＋1＝0， 化简得3m2＋4km－1＝0.② 由①②，得11m4－10m2－1＝0，∴m2＝1. 又k＜0，∴满足Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0， ∴直线l的方程为y＝－x＋1. 求直线、曲线方程关键是利用题设条件的各种关系，求出方程中需要的量．　技法点拨 迁移应用 (2023·湖南新高考教学教研联盟第一次联考)已知O为坐标原点，抛物线E：x2＝2py(p>0)，过点C(0,2)作直线l交抛物线E于点A，B(其中点A在第一象限)，·＝－4且＝λ(λ>0)． (1)求抛物线E的方程； (2)当λ＝2时，过点A，B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线，求该圆的方程． 解：直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)(x1>0)，B(x2，y2)， 由A，B在抛物线上，得y1＝，y2＝. (1)由 消去y并整理得x2－2pkx－4p＝0， 所以 由·＝－4，得x1x2＋y1y2＝－4，所以x1x2＋·＝－4，所以－4p＋4＝－4，解得p＝2， 所以抛物线E的方程为x2＝4y. (2)由 消去y并整理得x2－4kx－8＝0， 所以 当λ＝2时，＝2，所以x1＝－2x2.又x1>0，所以x1＝4，x2＝－2，k＝， 所以线段AB的中点坐标为，A的坐标为(4,4)， 则线段AB的垂直平分线方程为y－＝－2(x－1)，即y＝－2x＋. 对y＝x2求导得y′＝x. 则抛物线E在点A处的切线斜率为2， 过点A且与切线垂直的直线方程为y－4＝－(x－4)， 即y＝－x＋6. 由y＝－2x＋及y＝－x＋6得圆心坐标为， 则圆的半径为 ＝， 所以所求圆的方程为(x＋1)2＋2＝. 　　互动探究 [例]　(2022·新高考全国Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a＞1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． [解]　(1)∵点A在双曲线上， ∴－＝1， 解得a2＝2，∴C的方程为－y2＝1.① 设直线l：y＝kx＋m.② 联立①②，消去y得(1－2k2)x2－4kmx－2(m2＋1)＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， kPA＝，kQA＝， 由kPA＋kQA＝0，得＋＝0， 化简得2kx1x2＋(m－2k－1)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 即2k·＋(m－2k－1)·－4(m－1)＝0，化简得(2k＋m－1)(k＋1)＝0， ∴2k＋m－1＝0或k＋1＝0. 若2k＋m－1＝0，则l：y＝k(x－2)＋1， 这时直线l过点A，不合题意， ∴k＋1＝0，∴k＝－1. (2)由(1)知k＝－1，从而l：y＝－x＋m. 设直线PA的倾斜角为α，直线QA的倾斜角为β， 则∠PAQ＝α－β， ∴|tan(α－β)|＝2， 即＝2， 由题意知kQA＝－kPA， 解得k＝2或k＝. ∵双曲线C的渐近线斜率为±， ∴k＝2，由对称性可取kPA＝－， 则kQA＝， ∴直线PA的方程为y＝－(x－2)＋1， 联立 得x1＝. 同理，x2＝， ∴|PA|＝|x1－2|＝， |QA|＝|x2－2|＝. 由tan∠PAQ＝2得sin∠PAQ＝， ∴S△PAQ＝|PA||QA|sin∠PAQ ＝×××＝.