9.4 第2课时 定点、定值、探究性问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

第二课时　定点、定值、探究性问题 授课提示：对应学生用书第216页 　　互动探究 [例]　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝，证明：直线HN过定点． [解]　(1)法一：设椭圆E的方程为＋＝1(a＞0，b＞0且a≠b)，将A(0，－2)，B两点的坐标代入，得解得故椭圆E的方程为＋＝1. 法二：设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．由题意可得解得故椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：由A(0，－2)，B可得直线AB的方程为y＝x－2. ①若过点P(1，－2)的直线的斜率不存在，则其方程为x＝1, 与方程＋＝1联立，可得y＝±，结合题意可知N，M，由得 则T，由＝， 得 则H，所以直线HN的方程为y＝x－2，易知直线HN过点(0，－2)． ②若过点P(1，－2)的直线的斜率存在，设其方程为y＋2＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1＋y2＝，y1y2＝，x1y2＋x2y1＝. 联立可得T，由＝，可得H(3y1＋6－x1，y1)，故此时直线HN的方程为y－y2＝(x－x2)，将(0，－2)代入并整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0，即2×－6×＋－3×－12＝0恒成立，则直线HN过定点(0，－2)． 综上，直线HN过定点(0，－2)． 技法点拨 求解定点问题常用的方法 　 迁移应用 (2023·武汉模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8. (1)求直线l的方程； (2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标． 解：(1)由y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)， 代入抛物线方程y2＝4x， 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 由题意知k≠0， 且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1. 由抛物线的弦长公式知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，则＝6， 即k2＝1，解得k＝±1. 所以直线l的方程为y＝±(x－1)． (2)证明：由(1)及抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)， 直线BD的斜率kBD＝＝＝， 所以直线BD的方程为y＋y1＝·(x－x1)， 即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1. 因为y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1， 所以(y1y2)2＝16x1x2＝16， 即y1y2＝－4(y1，y2异号)． 所以直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0， 对任意y1，y2∈R，有 解得 即直线BD恒过定点(－1，0)． 　　互动探究 [例]　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆内一点M(1,3)的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线y＝－x于点N.若＝m，＝n，求证：m＋n为定值，并求出此定值． [解]　(1)由已知得2a＝8，a＝2c，则a＝4，c＝2. 又b2＝a2－c2，∴b2＝12， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N， 由＝m， 得＝m(1－x1,3－y1)， ∴x1＝，y1＝， ∴A(，). ∵点A在椭圆＋＝1上， ， 得到9m2＋96m＋48－x＝0. 同理，由＝n，可得9n2＋96n＋48－x＝0. ∴m，n可看作是关于x的方程9x2＋96x＋48－x＝0的两个根，则m＋n＝－，为定值． 技法点拨 求解定值问题的两大途径 　 迁移应用 (2023·海南新高考模拟卷一)已知A(－2,0)，B(2,0)分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，点Q在椭圆上，P是椭圆上异于A，B的一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l的方程为x＝4，若直线AP与直线l交于点M，直线BP与直线l交于点N，求证：·为定值． 解：(1)由题意得a＝2. 又点Q在椭圆上，所以＋＝1，解得b＝，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明：设P(x0，y0)，且x0≠±2，则＋＝1，化简得4y＝3(4－x)．设M(4，m)，N(4，n)， 由，共线知6y0＝m(x0＋2)①， 由，共线知2y0＝n(x0－2)②， ①×②得mn(x－4)＝