9.4 第1课时 圆锥曲线的范围、最值问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

9．4　圆锥曲线的综合问题 第一课时　圆锥曲线的范围、最值问题 授课提示：对应学生用书第213页 　　多维探究 [例1]　(2023·辽宁名校联盟二轮复习联考(一))已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，抛物线上一点A(m,2)(m>0)到F的距离为3. (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点B(2,0)且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N.若＝λ，λ∈，求斜率k的取值范围． [解]　(1)由题意知2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.将点A(m,2)(m>0)代入x2＝4y，得m＝2，所以点A的坐标为(2，2)． (2)由题意知直线l：y＝k(x－2)，联立得 消去y得x2－4kx＋8k＝0， 由Δ＝16k2－32k>0，解得k<0或k>2. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝8k，＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，由＝λ得y1＝λy2，即λ＝. 又x＝4y1，x＝4y2， 所以λ＝＝2∈，则∈∪. 因为＝＋＋2＝＝2k， 设t＝，则2k＝t＋＋2. 因为t∈∪， 所以t＋∈∪， 所以k∈∪. 因为k<0或k>2，所以k的取值范围是∪. 技法点拨 构造不等式求范围的三种常用方法 [例2]　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为点F，点M(a,2)在抛物线C上． (1)若|MF|＝6，求抛物线的标准方程； (2)若直线x＋y＝t与抛物线C交于A，B两点，点N的坐标为(1,0)，且满足NA⊥NB，原点O到直线AB的距离不小于，求p的取值范围． [解]　(1)由题可知a＋＝6. 因为点M(a,2)在抛物线C上，所以20＝2pa. 由解得或 所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝20x. (2)联立消去y，得x2－(2t＋2p)x＋t2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为Δ＝4(t＋p)2－4t2＝4p(p＋2t)>0， 所以x1＋x2＝2t＋2p，x1x2＝t2. 因为NA⊥NB，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0. 又y1＝t－x1，y2＝t－x2，所以2x1x2－(1＋t)(x1＋x2)＋t2＋1＝0， 所以2p＝. 因为原点O到直线AB的距离不小于，所以≥，即t≤－2(舍去)或t≥2. 因为2p＝＝t＋1＋－4， 所以函数y＝在t∈[2，＋∞)上单调递增，所以p≥，即p的取值范围为. 技法点拨 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　 迁移应用 1．(2023·陕西西安模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点A(0,2)． (1)求双曲线C的方程； (2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设P，Q中点为点M，求△BOM面积的取值范围． 解：(1)由题意可知，＝，＝1，c2＝a2＋b2，所以a＝b＝2，所以双曲线C的方程为y2－x2＝4. (2)设直线PQ的方程为x－2＝my(m>0)． 联立 得(1－m2)y2－4my－8＝0. 设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2， 则 解得1<m<. 设点M的纵坐标为y0. 因为点M为PQ的中点，所以y0＝＝， 所以S△OBM＝|OB||y0|＝×2×＝＝，1<m<， 所以△BOM面积的取值范围为(2，＋∞)． 2．已知M为椭圆C：＋＝1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足＝. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，点F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求的取值范围． 解：(1)设P(x，y)，M(m，n)．由题意可知D(m,0)，且y≠0.由＝，得(m－x，－y)＝(0，－n)， 则有∴ 又点M(m，n)为椭圆C：＋＝1上的点， ∴＋＝1，即x2＋y2＝25， ∴动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0)． (2)由题意可知A(－5,0)，B(5,0)，F(－4,0)． 设Q(x0，y0)． ∵线段AB为圆E的直径，∴AP⊥BP. 设直线PB的斜率为kPB， 则＝＝－kQFkPB＝－kQFkQB＝－·＝－＝－＝＝＝. ∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴－5<x0<5且x0≠－4. 又y＝在(－5，－4)和(－4,5)上单调递减，∴∈(－∞，0)∪，∴的取值范围是(－∞，0)∪. 　　多维探究 [例1]　(2023·江苏盐城、南京一模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)设动直线l与双曲线C交于P，Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值． [