9.3 抛物线-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

9．3　抛物线 课程标准 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质．　2.了解抛物线的简单应用．　 授课提示：对应学生用书第209页 知识点一　抛物线的定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 知识点二　抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有如下结论． (1)x1x2＝，y1y2＝－p2；　 (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF 或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. [对点自测] 1．(知识点一)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　) A．0个　　　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．4个 答案：C 2．(知识点二)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 答案：A 3．(知识点二)(易错题)抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　) A. B．－ C．4 D．－4 答案：B 4．(知识点一)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝________. 答案：8 授课提示：对应学生用书第210页 　　多维探究 [例1]　(1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．直线　　　　　　 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [解析]　设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1.又动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x＝2的距离为r＋1.根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线． [答案]　D (2)动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． [解析]　设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x. [答案]　y2＝4x [例2]　(1)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 [解析]　根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12.因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6. [答案]　C (2)已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则点M的横坐标是________． [解析]　抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，设点M的横坐标为x0，则有x0＋1＝6，所以x0＝5. [答案]　5 链接高考 (2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)．若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：由题意可知F(1,0)，抛物线C的准线方程为x＝－1.设A，由抛物线定义可知|AF|＝＋1.又|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)，不妨取A(1,2)，则|AB|＝＝＝2. 答案：B [例3]　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． [解析]　如图，过点B作BQ垂直于抛物线的准线，交准线于点Q，交抛物线于点P1，连接P1F，则|P1Q|＝|P1