9.1 椭圆-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

第九章 圆锥曲线的方程 9.1 椭圆 课程标准 1．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．　 2.了解椭圆的简单应用．　 授课提示：对应学生用书第199页 知识点一　椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点． 两焦点之间的距离叫椭圆的焦距．焦距的一半称为半焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数． (1)当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆． (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段． (3)当2a<|F1F2|时，P点不存在． 知识点二　椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 1.若点P在椭圆上，点F为椭圆的一个焦点，则 (1)b≤|OP|≤a； (2)a－c≤|PF|≤a＋c. 2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中， (1)当r1＝r2，即点P为短轴端点时，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. [对点自测] 1．(知识点一)若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 答案：A 2．(知识点二)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　) A.　　　　　　　　 B. C．2－ D.－1 答案：D 3．(知识点二)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 答案：C 4．(知识点一)椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________. 答案：4或8 授课提示：对应学生用书第200页 　　互动探究 [例]　(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A.－＝1　　　　　 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 [解析]　设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M在圆C1：(x－4)2＋y2＝169内部且与圆C1内切，与C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r， 所以|MC1|＋|MC2|＝16＞|C1C2|＝8. 由椭圆的定义知，点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，所以a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，所以动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1. [答案]　D (2)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值为(　　) A．3 B．4 C．6 D．7 [解析]　由已知得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝4×2＝8. 所以|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|. 当AB⊥x轴时，|AB|最小，|AF2|＋|BF2|最大． 因为|AB|min＝＝＝， 所以|AF2|＋|BF2|的最大值为8－＝7. [答案]　D (3)已知P是椭圆＋＝1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________． [解析]　由椭圆的方程可得a＝4，b＝3，c＝＝. 在△F1PF2中，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，|F1F2|＝2c＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，即4c2＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，可得28＝64－3|PF1||PF2|， 解得|PF1||PF2|＝12.由三角形面积公式可得△F1PF2的面积为|PF1||PF2|sin 60°＝×12×＝3.