8.1 直线的方程-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

第八章 直线和圆的方程 8.1 直线的方程 课程标准 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．　2.掌握直线方程的几种形式．　 授课提示：对应学生用书第184页 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l的倾斜角α的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α. (2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 知识点二　直线方程 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 横、纵截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 所有直线 1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)． 斜率为k的直线的方向向量a＝(1，k)． [对点自测] 1．(知识点一)直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．－ D．－ 答案：A 2．(知识点二)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝(　　) A．－24 B．12 C．－12 D．24 答案：A 3．(知识点一)若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________． 答案：1 4．(知识点二)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 授课提示：对应学生用书第185页 　　自主探究 1．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　) A.　　　　　　　 B. C.∪ D. 解析：①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，直线AB的斜率k＝∈(－∞，－)∪，∴α∈∪.综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是. 答案：D 2．已知曲线y＝x3－x2上一个动点P，作曲线在点P处的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　) A. B.∪ C. D. 解析：设切线倾斜角为α，∵y′＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的斜率k＝tan α≥－1， ∴切线的倾斜角α∈∪. 答案：B 3．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l的方程为－kx＋y＋k－1＝0，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为(　　) A．(－∞，－4]∪ B.∪ C. D. 解析：由－kx＋y＋k－1＝0， 即y－1＝k(x－1)， 可知直线l恒过定点P(1,1)， 则kAP＝－4，kBP＝. 作出直线AP，BP(图略)，可知当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围为(－∞，－4]∪. 答案：A 4．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为____________． 解析：在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示平面直角坐标系． 设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2. 由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°， 故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝， kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3. 答案：，－3 技法点拨 研究斜率与倾斜角之间的关系时，可借用正切函数y＝tan x图象．直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．　 　　互动探究 [例]　(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　) A．y－3＝－(x＋4)　　　　 B．y＋3＝(x－4) C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4) [解析]　法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝， 故直线l的方程为y－3＝(x＋4)． 法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于点A)， 则＝(x＋4，y－3)． 因为直线l