7.7 第2课时 空间距离问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

第二课时　空间距离问题 课程标准 1．了解空间中点到直线、点到平面、直线到平面、平面到平面间距离的含义．　2.能利用空间关系或空间向量求空间距离问题．　 授课提示：对应学生用书第175页 知识点　空间距离的向量求法 分类 图示 向量求法 点线距 u为直线l的单位方向向量，P∉l，A∈l，Q∈l，＝a，在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则PQ＝＝ 点面距 设平面α的法向量为n，P∉α，A∈α，PQ⊥α，在直线l上的投影向量为，则P点到平面α的距离PQ＝＝＝ [对点自测] 1．空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为(　　) A.　　　　　　　　 B．5 C. D．3 答案：C 2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为(　　) A. B. C. D. 答案：C 3．已知直线l的方向向量n＝(1,0,2)，点A(0,1,1)在直线l上，则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　) A. B. C. D．2 解析：由已知得＝(－1，－1，－1)，所以点P到直线l的距离为d＝ ＝ ＝. 答案：A 4．已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点．若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为__________． 答案：5 授课提示：对应学生用书第175页 　　互动探究 [例]　已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． [解]　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4,0,1)，C1(0，3,1)，所以直线A1C1的方向向量为＝(－4,3,0)，而＝(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离 d＝. 而||2＝32＋12＝10，＝， ∴2＝2 ＝2， ∴d＝ ＝. 故点B到A1C1的距离为. 技法点拨 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点 (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任意取，但必须保证计算正确．　 迁移应用 如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D．1 解析：由题意知A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1，2,0)，故＝(1,2，－3)，＝(0,2,0)， 对应的单位向量为u＝， 所以点B到A1C的距离为 ＝ ＝. 答案：B 　　互动探究 [例]　(2023·郑州一模)如图，△ABC为直角三角形，∠A＝，AB＝4，AC＝1，M，N分别为AB，BC的中点，将△BMN沿MN折起，使点B到达点P，且PC＝3. (1)求证：平面PMN⊥平面ACNM； (2)求点M到平面PAC的距离． [解]　(1)证明：∵△ABC为直角三角形，∠A＝，M，N分别为AB，BC的中点，∴MN⊥AB，∴PM⊥MN. 连接MC(图略)，则在Rt△AMC中，MC＝＝. 又PM＝2，PC＝3， ∴PM2＋MC2＝PC2，即PM⊥MC. ∵MC∩MN＝M，MN，MC⊂平面ACNM， ∴PM⊥平面ACNM. ∵PM⊂平面PMN，∴平面PMN⊥平面ACNM. (2)法一：∵∠A＝，AC＝1，AM＝2， ∴△ACM的面积S△ACM＝1， 则VP­ACM＝S△ACM×PM＝. 由(1)可得PM⊥AM，PM⊥AC. 又AC⊥AM，AM∩PM＝M，AM，PM⊂平面PAM， ∴AC⊥平面PAM.又AP⊂平面PAM，∴AC⊥AP. 而PA＝＝2， ∴△ACP的面积S△ACP＝. ∵VP­ACM＝VM­PAC， ∴点M到平面PAC的距离为＝. 法二：过点M作MO⊥PA交PA于点O(图略)． 由(1)可得，PM⊥AM，PM⊥AC. 又AC⊥AM，AM∩PM＝M，AM，PM⊂平面PAM， ∴AC⊥平面PAM.又MO⊂平面PAM，∴AC⊥MO. 又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC， ∴MO⊥平面PAC，即点M到平面PAC的距离d＝OM. 在Rt△PAM中，PM×AM＝PA×OM，∴OM＝＝＝. 法三：由(1)可知，以MA，MN，MP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)． 取PA的中点O， ∵MA＝MB，∴MO⊥PA. ∵AC⊥平面PMA，∴AC⊥MO，PA∩AC＝A， ∴MO⊥平面PAC，故为平面PAC的法向量． P(0,0,2)，A(2,0,0)，∴O(1,0,1)， ∴＝(1,0,1)，＝(2,0,0)， ∴M到平面PAC的距离d＝＝＝. 技法点拨 求点到平面的