7.7 第1课时 利用空间向量研究直线、平面间的位置关系-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

7．7　空间向量的应用 课程标准 1．理解直线的方向向量与平面的法向量．　2.能用向量语言表述线线、线面、面面间的垂直、平行关系．　3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．　4.能用向量方法解决线线、线面、面面间的距离与夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的应用．　 第一课时　利用空间向量研究直线、平面间的位置关系 授课提示：对应学生用书第171页 知识点一　直线的方向向量、平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量． 知识点二　空间位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0. [对点自测] 1．(知识点一)已知A(3,5,2)，B(－1,2,1)，把按向量a＝(2,1,1)平移后所得的向量是(　　) A．(－4，－3,0) B．(－4，－3，－1) C．(－2，－1,0) D．(－2，－2,0) 答案：B 2．(知识点二)平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　　 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定 答案：C 3．(知识点一、二)(多选)已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y＝(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 答案：AD 4．(知识点二)已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有__________对． 解析：∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直． 答案：0 授课提示：对应学生用书第172页 　　互动探究 [例]　已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F. [证明]　(1)建立如图所示空间直角坐标系， 则有D(0,0,0)，A(2，0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0，0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)． 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的一个法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即 得令z1＝2，则y1＝－1， 所以n1＝(0，－1,2)． 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE， 所以FC1∥平面ADE. (2)因为＝(2,0,0)， 设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量． 由n2⊥，n2⊥，得 得 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)． 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 技法点拨 利用向量法证明平行问题的方法 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． 迁移应用 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 证明：法一：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(3,0,1)，Q(0，2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， ＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)， ∴＝，∴∥，即PQ∥RS. 法二：＝＋ ＝－＋， ＝＋ ＝＋－， ∴＝，∴∥，即PQ∥RS. 　　互动探究 [例]　如图，在三棱锥P­ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. (1)求证：平面GEF⊥平面PBC； (2)求证：EG与直线PG和BC都垂直． [证明]　(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角