7.5 空间直线、平面的垂直-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

7．5　空间直线、平面的垂直 课程标准 1．从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的垂直关系，并加以证明．　2.会用相关知识证明空间中基本图形之间的位置关系．　 授课提示：对应学生用书第163页 知识点一　直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直． 2．判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 若两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b 知识点二　直线与平面所成的角 1．定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角，一条直线和平面平行，或在平面内，就说它们所成的角是0°的角．如图所示，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． 2．范围：[0°，90°]． 知识点三　二面角及其平面角 1．二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面． 2．二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 3．当θ＝时，二面角叫做直二面角，此时称这两个平面垂直． 知识点四　平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α [对点自测] 1．(知识点一、四)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l　　　　　 B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 答案：C 2．(知识点一、四)下列命题中不正确的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 答案：A 3．(知识点一)“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件． 答案：必要不充分 4．(知识点四)如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面有________对． 解析：∵AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，∴平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥CD.又BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC. 又CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC. 答案：3 授课提示：对应学生用书第164页 　　互动探究 [例]　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. [证明]　(1)在四棱锥P­ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. 又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE. 技法点拨 1．判定线面垂直的四种方法 2．由线面垂直可得到线线垂直，也可得到点面的距离或高度．　 链接高考 (2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F­EBC的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE. 解：(1)∵侧面四边形AA1B1B为正方形，∴A1B1⊥BB1. ∵BF⊥A1B1且BB1∩BF＝B，BB1，BF⊂平面BB1C1C， ∴A1B1⊥平面BB1C1C. 又∵AB∥A1B1，∴AB⊥平面BB1C1C. 又∵BC⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BC. ∵AB＝BC＝