7.2 球及组合体-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

7.2　球及组合体 课程标准 1．了解与球切、接相关的组合体的结构特征．　2.会解决与球及组合体有关的切、接问题．　 授课提示：对应学生用书第151页 知识点一　球的表面积与体积 表面积：S球＝4πR2，体积：V球＝πR3. 知识点二　球的截面 (1)球的截面是圆面，过球心的截面截球所得圆面为球的大圆面，不过球心的截面为球的小圆面． (2)球心和小圆面圆心的连线垂直于圆面． (3)设球的半径为R，小圆面的半径为r，球心到小圆面的距离为h，则R2＝h2＋r2. 1．正方体的棱长为a，球的半径为R. 若球为正方体的外接球，则2R＝a； 若球为正方体的内切球，则2R＝a； 若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. 2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 3．棱长为a的正四面体的外接球的半径为a，内切球的半径为a，外接球的半径与内切球的半径之比为3∶1. 　 [对点自测] 1．(知识点一、二)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π　　　　　 B．4π C．4π D．6π 解析：如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|＝，|O1A|＝1， ∴球的半径R＝|OA|＝＝， ∴球的体积V＝πR3＝4π. 答案：B 2．(知识点一)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．12π　　　　 B.π　　　　 C．8π　　　　 D．4π 解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π. 答案：A 3.(知识点一)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，表面积为S1，球O的体积为V2，表面积为S2，则的值是________，＝________. 解析：设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，所以＝＝，＝＝. 答案：　 授课提示：对应学生用书第152页 　　多维探究 [例1]　(1)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A.　　　　　　　 B．2 C. D．3 [解析]　由题意作图如下，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M. ∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5. 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6， ∴球O的半径R＝OA＝＝. [答案]　C (2)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A. B．16π C．9π D. [解析]　如图所示，作正四棱锥P­ABCD.设球的半径为R，正四棱锥底面中心为O′且球心为O. ∵在正四棱锥P­ABCD中， AB＝2，∴AO′＝. ∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中， AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2， 解得R＝， ∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝. [答案]　A (3)已知三棱锥P­ABC(记△ABC所在的平面为底面)内接于球O，PA∶PB∶PC＝1∶2∶3.当三棱锥P­ABC侧面积最大时，球O的体积为π，则此时△ABC的面积为(　　) A．12　　　 B．13　　　　 C．14　　　　 D．15 [解析]　设PA＝x，则PB＝2x，PC＝3x，当三棱锥P­ABC侧面积最大时，PA，PB，PC两两垂直，此时球O的直径为以PA，PB，PC为长、宽、高的长方体的体对角线．设球O的半径为R，则πR3＝π，得R＝，所以PA2＋PB2＋PC2＝4R2，即14x2＝4×()2，得x＝2，则PA＝2，PB＝4，PC＝6， 此时AB＝2，AC＝2，BC＝2，由余弦定理得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，则△ABC的面积为×2×2×＝14. [答案]　C 技法点拨 多面体的外接球球心的确定方法 (1)定义法： 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．如： ①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； ②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； ③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； ④正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形，运用勾股定理计算得到； ⑤若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． (2)补形法： 将不规则的几何体补成规则的几何体，如： ①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直