6.5 数列的综合问题-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

6．5　数列的综合问题 授课提示：对应学生用书第142页 　　互动探究 [例]　(1)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 021这2 021个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有(　　) A．98项　　　　　　　　 B．97项 C．96项 D．95项 [解析]　能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an＝21n－20.由1≤an≤2 021得1≤n≤97.又n∈N*，故此数列共有97项． [答案]　B (2)某年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是(　　) A．211－47 B．212－57 C．213－68 D．214－80 [解析]　由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列．出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列．记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n－1，bn＝n.故上午11时30分公园内的人数为 S＝2＋－＝212－57. [答案]　B (3)某厂2022年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同．已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N的大小关系是(　　) A．ω>N B．ω<N C．ω＝N D．不确定 [解析]　投入资金逐月值构成等比数列{bn}，利润逐月值构成等差数列{an}，等比数列{bn}可以看成关于n的指数式函数，它是凹函数，等差数列{an}可以看成关于n的一次式函数．由于a1＝b1，a12＝b12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润ω＝a1＋a2＋…＋a12比总投资N＝b1＋b2＋…＋b12大． [答案]　A 技法点拨 数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值． (2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，那么应考虑相邻两项(或相邻三项)之间的递推关系．　 链接高考 (2022·新高考全国Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝(　　) A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 解析：令OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝a， 则CC1＝k1a，BB1＝k2a，AA1＝k3a，DD1＝0.5a， 所以A的坐标为(4a，k1a＋k2a＋k3a＋0.5a)， 所以kOA＝＝＝0.725，所以k1＋k2＋k3＋0.5＝2.9. 因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列， 所以k1＋k2＋k3＋0.5＝3k3－0.3＋0.5＝2.9， 所以k3＝0.9. 答案：D 迁移应用 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%，则第n年初M的价值an＝__________. 解析：当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，所以an＝120－10(n－1)＝130－10n(n≤6且n∈N*)； 当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列．又因为a6＝70，所以an＝70×n－6(n≥7且n∈N*)． 答案： 　　多维探究 [例1]　(2023·江西九江5月质检)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn>0. (1)求q的取值范围； (2)设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小． [解