6.4 数列求和-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

6．4　数列求和 课程标准 1．熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式．　2.掌握数列求和的裂项相消法、错位相减法、分组转化法、并项求和法、倒序相加法，能够利用常见求和模型求数列的前n项和．　 授课提示：对应学生用书第139页 知识点　数列前n项和的求法 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． 5．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． [对点自测] 1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　) A．－200　　　　　　　 B．－100 C．200 D．100 解析：S100＝－1＋3－5＋7－…－197＋199＝2×50＝100. 答案：D 2．在等差数列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100等于(　　) A．50 B．75 C．100 D．125 解析：a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d) ＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×＝75. 答案：B 3．在数列{an}中，an＝.若{an}的前n项和为，则项数n＝________. 解析：∵an＝－， ∴Sn＝＋＋…＋＝1－＝＝. ∴n＝2 023. 答案：2 023 4．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________. 答案：(n－1)2n＋1＋2 授课提示：对应学生用书第140页 　　互动探究 [例]　(2023·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{an}，a6＝6，又a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n. [解]　(1)∵{an}为各项都不相等的等差数列， a6＝6，且a1，a2，a4成等比数列， ∴ 解得a1＝1，d＝1， ∴数列{an}的通项公式an＝1＋(n－1)×1＝n. (2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n， B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. [变式训练]　(变问题)在本例中，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由本例知bn＝2n＋(－1)nn. 当n为偶数时， Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2； 当n为奇数时， Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n] ＝2n＋1－2＋－n ＝2n＋1－－. 所以Tn＝ 技法点拨 分组转化法求和的常见类型 　 　　互动探究 [例]　(2023·咸宁模拟)设{an}是各项都为正数的单调递增数列．已知a1＝4，且an满足关系式：an＋1＋an＝4＋2，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　(1)因为an＋1＋an＝4＋2，n∈N*， 所以an＋1＋an－2＝4， 即(－)2＝4. 又{an}是各项为正数的单调递增数列， 所以－＝2. 又＝2， 所以{}是首项为2，公差为2的等差数列， 所以＝2＋2(n－1)＝2n， 所以an＝4n2. (2)bn＝＝ ＝ ＝， 所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＋＋…＋ ＝＝. 技法点拨 1．裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． 2．裂项相消法求和的裂项原则和消项规律 (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，