6.3 等比数列-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

6．3　等比数列 课程标准 1．理解等比数列的概念和通项公式的意义．　2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．　3.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并解决相应问题．　4.体会等比数列与指数函数之间的关系． 授课提示：对应学生用书第135页 知识点一　等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±. 知识点二　等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1. 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 知识点三　等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)等比数列{an}的单调性： 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列； 当q＝1时，数列{an}是常数列． (3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． 1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列． 2．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，其中c≠0，q≠0. 3．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 4．当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项和与奇数项和之比等于公比q，即＝q.　 [对点自测] 1．(知识点一)已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则{an}的公比q为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．－ C．－2 D. 答案：C 2．(知识点三)等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 答案：B 3．(知识点一、二)在3与192中间插入两个数使它们同这两个数构成等比数列，则这两个数为________． 答案：12,48 4．(知识点一、二)设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn.若S3＝3a3，则公比q＝________. 答案：－或1 授课提示：对应学生用书第136页 　　自主探究 1．(2023·昆明市摸底诊断)已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为14，a1＝2，则数列{an}的公比等于(　　) A．4　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 则由a1＝2，a1＋a2＋a3＝14，得2＋2q＋2q2＝14，解得q＝2或q＝－3(舍去)． 答案：C 2．记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6，则{an}的通项公式为(　　) A．an＝(－2)n B．an＝－2n C．an＝(－3)n D．an＝－3n 解析：由题设得a3＝S3－S2＝－6－2＝－8.设等比数列{an}的公比为q，由S2＝a1＋a2＝2可得＋＝2，解得q＝－2，所以a1＝＝－2，故an＝a1qn－1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n. 答案：A 3．(2023·汕头一模)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3，a5成等差数列，则a1＝(　　) A．5－5 B．5＋5 C．5 D．5 解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由题意得则解得q2＝2，q＝，a1＝5－5. 答案：A 技法点拨 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求出关键量a1和q，问题便可迎刃而解．　 链接高考 (2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：法一：设{an}的公比为q， 则 得＝＝q(1－q)＝，4q2－4q＋1＝0，即(2q－1)2＝0，∴q＝.代入①得a1＝96，故a6＝a1q5＝96×＝3. 法二：设数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. 由a2－a5＝42，得q≠1. 由题意得 得＝4，即4q2－4q＋1＝0， ∴(2q－