6.2 等差数列-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

6．2　等差数列 课程标准 1．理解等差数列的概念和通项公式的意义．　2.掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．　3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应问题．　4.体会等差数列与一元一次函数之间的关系．　 授课提示：对应学生用书第131页 知识点一　等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)． (2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. 知识点二　等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)． 知识点三　等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则有am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (3)若数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d. 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2．在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，这里公差d＝2A. 4．若数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则也是等差数列，其首项与数列{an}的首项相同，公差是数列{an}的公差的.　 5.若等差数列{an}的项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd，＝. 6．若等差数列{an}的项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，＝. 7．若数列{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn，Tn，则＝.[对点自测] 1．(知识点一、二)已知在等差数列{an}中，a2＝3，前5项和S5＝10，则数列{an}的公差为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．－4 答案：A 2．(知识点一、二)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　) A．36 B．72 C．144 D．288 答案：B 3．(知识点二、三)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝(　　) A．12 B．8 C．20 D．16 答案：C 4．(知识点一、二)已知等差数列的前3项分别是a－1，a，a＋3，则其通项公式是________． 解析：依题意得a－1＋a＋3＝2×a，解得a＝－2.于是该数列首项为－3，公差为－1－(－3)＝2，所以通项公式为an＝－3＋2(n－1)＝2n－5. 答案：an＝2n－5 授课提示：对应学生用书第132页 　　自主探究 1．(2023·湖北十一校联考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则数列{an}的公差是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由S9＝27＝9a5，得a5＝3.设数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a5－3d)a5＋(a5＋3d)＝0，解得d＝2. 答案：B 2．(2023·开封二模)已知在公差为1的等差数列{an}中，a＝a3a6.若该数列的前n项和Sn＝0，则n＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＝1.又因为a＝a3a6，所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋5d)，则a1＝－6.故Sn＝na1＋d＝－6n＋＝n2－n＝0，解得n＝13. 答案：D 3．(2023·湖南省名校第二次大联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a7－a11＝4，则S5＝(　　) A．15 B．20 C．25 D．30 解析：设等差数列{an}的公差为d，则2(a1＋6d)－(a1＋10d)＝a1＋2d＝4，所以S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5×4＝20. 答案：B 4．(2023·南京市六校联考)若一