6.1 数列的概念-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

第六章 数列 6.1 数列的概念 课程标准 1．了解数列的概念和表示方法．　2.了解数列是一种特殊的函数．　 授课提示：对应学生用书第127页 知识点一　数列的有关概念 (1)数列：一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列． (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项． (3)数列的通项：数列{an}的第n项an. (4)数列{an}的前n项和：数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (5)数列与函数：数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}． 知识点二　数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 公式法 递推公式 如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 知识点三　数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an＝C(常数) 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 按有无最大项分类 有界数列 存在一个正数M，使得对于任意的n∈N*，都有|an|≤M 无界数列 不存在某一个正数M，使得对于任意的n∈N*，都有|an|≤M 1.an＝ 2．若对于n∈N*都存在非零实数T，使an＋T＝an，则T为{an}的一个周期，{an}具有周期性． [对点自测] 1．(知识点一)已知数列{an}为，1，，，…，则可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A．an＝　　　　 B．an＝ C．an＝ D．an＝ 答案：C 2．(知识点一、二)已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　) A．3不是数列{an}中的项 B．3只是数列{an}中的第2项 C．3只是数列{an}中的第6项 D．3是数列{an}中的第2项或第6项 答案：D 3．(知识点三)下列数列是递增数列的是(　　) A．an＝πn B．an＝n C．an＝sinπ D．an＝i 答案：A 4．(知识点一、二)已知Sn＝2n＋3，则an＝________. 答案： 授课提示：对应学生用书第128页 　　自主探究 1．Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，且Sn＝a＋an－14，则Sn＝(　　) A.＋ B.＋5n C.n2＋n D．n2＋3n 解析：由题意得Sn＝a＋an－14，Sn－1＝a＋an－1－14(n≥2)，两式相减得an＝a－a＋an－an－1(n≥2)，所以a－a－an－an－1＝0(n≥2)，所以(an－an－1)(an＋an－1)－(an＋an－1)＝0(n≥2)，所以(an＋an－1)＝0(n≥2)．因为数列{an}各项均为正数，所以an＋an－1>0，所以an－an－1－＝0(n≥2)，所以an－an－1＝(n≥2)，所以数列{an}是以a1为首项，以为公差的等差数列．令n＝1，得a1＝a＋a1－14，解得a1＝4或a1＝－(舍去)，所以Sn＝n×4＋(n－1)××＝. 答案：A 2．(2023·河北石家庄高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn.若Sn＝2n＋1－3，n∈N*，则an＝________. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－3)－(2n－3)＝2n.当n＝1时，a1＝S1＝22－3＝1不适合上式，故数列的通项公式为an＝ 答案： 3．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________. 解析：当n＝1时，a1＝2.当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1， ∴(2n－1)an＝2n－2n－1， ∴an＝.当n＝1时，a1＝2，不适合上式，故an＝ 答案： 4．已知各项均为正数的数列{an}．若数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，＋＝an(n≥2)，则a6＝________. 解析：因为＋＝an＝Sn－Sn－1＝(＋)(－)(n≥2