5.6 余弦定理和正弦定理-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

5．6　余弦定理和正弦定理 课程标准 1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．　2.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．　 授课提示：对应学生用书第119页 知识点一　正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 知识点二　三角形的面积 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (4)三角形中最大内角的取值范围是，最小内角的取值范围是. (5)三角形中的射影定理：bcos C＋ccos B＝a，acos C＋ccos A＝b，acos B＋bcos A＝c. (6)在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 1 2 1 1 　(7)S△ABC＝，其中p＝(海伦公式)． [对点自测] 1．(知识点一)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，C＝，则A＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C.或 D.或 答案：A 2．(知识点一)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 3．(知识点一、二)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 4．(知识点一、二)在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，AB＝2，则BC＝________，S△ABC＝________. 答案：2　2 授课提示：对应学生用书第120页 　　多维探究 1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B. C. D．3 解析：法一：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.在△ABC中，由题意知b＝，c＝2，由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，即19＝4＋a2－2·2a·cos 120°，整理得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5(舍)，所以BC＝3. 法二：在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin C＝＝.又0°<C<60°，所以cos C＝＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，所以BC＝＝＝3. 答案：D 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________. 解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°.因为b<c，所以B<C，故B＝45°，所以A＝75°. 答案：75° 3．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________，cos∠MAC＝________. 解析：由题意知，在△ABM中，AB＝2，∠B＝60°，AM＝2. 由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos B，即12＝4＋BM2－4·BM·， 解得BM＝4或BM＝－2(舍)． ∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝4，BC＝8. 在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， ∴AC2＝4＋64－2×2×8×＝52， ∴AC＝2. 在△AMC中，由余弦定理可得 cos∠MAC＝＝＝. 答案：2　 [例]　(1)(2023·广东省普通高中模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　) A. B. C. D. [解析]　2asin B＝b等价于＝，结合正弦定理＝，得sin A＝.又△ABC为锐角三角形，所以A＝.