5.4 三角函数的图象与性质-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

5．4　三角函数的图象与性质 课程标准 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象．　2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性．　3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等)．　 授课提示：对应学生用书第108页 知识点一　用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)． 知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ≠kπ＋ 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 对称中心是(k∈Z) 1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． 2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． [对点自测] 1．(知识点二)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　) A．T＝π，A＝1　　　　　　 B．T＝2π，A＝1 C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2 答案：A 2．(知识点二)函数f(x)＝cos(－2x)的单调增区间是________． 答案：(k∈Z) 3．(知识点二)函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________． 答案：(k∈Z) 4．(知识点一)函数y＝sin 2x在周期内五个关键点为 ，________，________，________，. 答案：　(0,0)　 授课提示：对应学生用书第109页 　　自主探究 1．函数f(x)＝ 的定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：由题意得，2sinx－1≥0，所以sinx≥.因此＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋4k≤x≤＋4k(k∈Z)，故函数的定义域为(k∈Z)． 答案：B 2．(2023·江苏宿迁高三一模)已知函数f(x)＝2cos xsin，则f(x)在区间上(　　) A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．有最小值，没有最大值 D．既没有最大值，也没有最小值 解析：∵f(x)＝2cos xsin＝2cos x＝2cos2x－2sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＋1＝cos＋1.又x∈，∴2x＋∈.根据余弦型函数的图象与性质可知函数有最大值f(x)max＝＋1，无最小值． 答案：B 3．(2023·山东济南高三月考)函数y＝tan的定义域是________． 解析：由题意得y＝－tan，则2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)． 答案： 4．函数y＝cos2x－2sin x在上的最大值为________． 解析：设sin x＝t，则t∈， ∴y＝1－sin2x－2sin x＝－(t＋1)2＋2，t∈， 故当t＝－，即x＝－时， ymax＝－2＋2＝. 答案： 技法点拨 1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x和cos x的范围直接求． (2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．　 　　多维探究 [例1]　(1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y ＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　) A．①②③　　　　　　　 B．①③④ C．②④ D．①③ [解析]　对于①，y＝cos|2x|＝cos 2x，它的最小正周期为＝π； 对于②，y＝|cos x|的最小正周期为