5.3 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

5．3　三角恒等变换 课程标准 1．能从两角差的余弦公式的推导过程中了解两角差余弦公式的意义．　2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式．　3.能运用上述公式进行简单的恒等变换．　 授课提示：对应学生用书第102页 知识点一　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)tan(α＋β)＝； (6)tan(α－β)＝. 知识点二　二倍角公式 (1)sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 1．降幂公式 cos2α＝，sin2α＝. 2．升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 3．公式变形 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． 4．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 5．半角公式 sin ＝± ；cos＝± ； tan＝± ＝＝. 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． [对点自测] 1．(知识点一)若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　) A．－　　　　　　　　　　 B. C．－ D. 答案：C 2．(知识点一)tan 75°＝________. 答案：2＋ 3．(知识点一)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________. 答案： 4．(知识点二)若sin ＋cos ＝，则cos 2θ＝________. 答案： 第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 授课提示：对应学生用书第103页 　　互动探究 [例]　(1)已知sin＝－，－＜α＜－，则cos＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－ D. [解析]　∵－＜α＜－，∴π＜－＜. 又sin＝－，∴cos＝－＝－，∴cos＝cos ＝coscos－sinsin＝×－×＝. [答案]　D (2)(2023·吉林松原模拟)若sin α＝，且α∈，则tan＝(　　) A．－ B. C．7 D. [解析]　若sin α＝，且α∈， 则cos α＝－ ＝－， 所以tan α＝＝－， 故tan＝＝＝. [答案]　D 技法点拨 利用三角函数公式时应注意的问题 (1)注意公式的结构特征和符号变化规律． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．　 链接高考 (2022·新高考全国Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 解析：因为sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β，2cossin β＝(2cos α－2sin α)sin β＝2cos αsin β－2sin αsin β，所以sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2cos αsin β－2sin αsin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，进而得sin(α－β)＋cos(α－β)＝0.又知cos(α－β)≠0，所以tan(α－β)＝－1. 答案：C 迁移应用 (2023·湖北武汉高三模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若角α，β的终边分别与单位圆交于点A，B，其中x1<0<x2，则cos(2α－β)＝(　　) A．－　　　　 B. C. D. 解析：由题意可知，sin α＝，sin β＝，由x1<0<x2可知cos α＝－＝－，cos β＝＝，所以cos 2α＝2－2＝，sin 2α＝2××＝－，所以cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝. 答案：C 　　互动探究 [例]　(1)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. [解析]　∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝. [答案]　B (2)(2023·山东威海一模)已知sin(β－α)·cos β－cos(α－β)sin β＝，α为