5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

5．2　同角三角函数的基本关系与诱导公式 课程标准 1．理解同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝.　2.借助单位圆及三角函数定义推出诱导公式．　3.能够运用同角三角函数基本关系式和诱导公式解决相关问题． 授课提示：对应学生用书第99页 知识点一　同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：tan α＝. 知识点二　诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 提醒：公式可以看作“π＋α”(k∈R)，口诀为奇变偶不变，符号看象限． 1．同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； 1＋tan2α＝. 2．sin＝－cos α，cos＝sin α， cos＝－sin α，sin＝－cos α.　 3.sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)，cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)． [对点自测] 1．(知识点一)已知α为第二象限角，化简：cos α ＋sin α· ＝(　　) A．sin α＋cos α　　　　 B．sin α－cos α C．1＋sin α D．1－sin α 答案：B 2．(知识点二)下列各数中，与sin 2 022°的值最接近的是(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：C 3．(知识点一)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α的值为________． 答案：－ 4．(知识点一、二)化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________． 答案：－sin2α 授课提示：对应学生用书第100页 　　多维探究 [例1]　(1)已知cos＝，－<α<0，则tan α＝(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C. D．－ [解析]　由cos＝，可得sin α＝－.又－＜α＜0，则cos α＝＝，所以tan α＝＝－. [答案]　D (2)(2023·广东梅州高三月考)若tan θ＝－2，且θ∈，则sin θ＋cos θ＝(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　因为tan θ＝＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以4cos2θ＋cos2θ＝1，可得cos2θ＝.因为θ∈，则cos θ>0，所以cos θ＝，所以sin θ＝－2cos θ＝－，所以sin θ＋cos θ＝－＋＝－. [答案]　C (3)(2023·湖南长沙高三月考)已知<θ<，sin θ－2cos θ＝1，则tan θ＝(　　) A. B. C．－ D．－ [解析]　∵sin θ－2cos θ＝1，∴sin θ＝2cos θ＋1，两边同时平方可得sin2θ＝4cos2θ＋4cos θ＋1. 又sin2θ＋cos2θ＝1，故5cos2θ＋4cos θ＝0，解得cos θ＝－或cos θ＝0.又<θ<，∴cos θ＝－，sin θ＝－，故tan θ＝. [答案]　B 技法点拨 利用同角三角函数基本关系式“知一求二”的方法 　 [例2]　(1)(2023·甘肃平凉期末)若tan θ＝2，则1＋sin θcos θ ＝(　　) A. B. C. D. [解析]　易知cos θ≠0，则1＋sin θcos θ＝＝＝＝＝. [答案]　B (2)设α∈R，且log4(2sin α＋cos α)＋log4(sin α＋2cos α)＝1，则tan α的值是(　　) A. B．2 C.或2 D．不存在 [解析]　∵log4(2sin α＋cos α)＋log4(sin α＋2cos α) ＝1，∴log4[(2sin α＋cos α)(sin α＋2cos α)]＝1，即(2sin α＋cos α)·(sin α＋2cos α)＝4，化简得2sin2α＋5sin αcos α＋2cos2α＝4，∴＝4.∵cos2α≠0，∴＝4，即2tan2α－5tan α＋2＝0，解得tan α＝或tan α＝2. [答案]　C 技法点拨 利用“弦切互化”求齐次式值的方法 (1)若齐次式为分式，可将分子与