4.3 平面向量的数量积-【创新思维】2024高考数学一轮复习高考总复习配套教参（人教版多选 新教材 新高考）

4．3　平面向量的数量积 课程标准 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．　2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．　3.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．　4.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．　 授课提示：对应学生用书第87页 知识点一　平面向量数量积的概念 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3．平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ·e. 知识点二　平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 距离 || ||＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a|·|b|的关系 |a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立 |x1x2＋y1y2|≤ 注意：e·a＝a·e＝|a|·cos θ，当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 知识点三　平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a.(交换律) (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．(结合律) (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(分配律) 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.　 [对点自测] 1．(知识点一)设a，e均为单位向量，当a，e的夹角为时，a在e方向上的投影向量为(　　) A．－e　　　　　　　 B．－e C.e D.e 答案：B 2．(知识点二)已知a，b是单位向量，且a·b＝－，则|a－b|等于(　　) A. B．3 C．2 D．1 答案：A 3．(知识点二、三)(新教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(m，－1)，且b⊥(2a－b)，则m的值为(　　) A．1 B．3 C．1或3 D．4 答案：C 4．(知识点一、二、三)已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a－b)，则a，b夹角的余弦值为________． 解析：由题意得|a|＝2，|b|＝3， (a－2b)·(2a－b)＝0， 即2|a|2＋2|b|2－5a·b＝0， ∴a·b＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第89页 　　互动探究 [例]　(1)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________. [解析]　a＋b＝(2,1)＋(2，－1)＝(4,0)， ∴(a＋b)·c＝(4,0)·(0,1)＝0， a·b＝(2,1)·(2，－1)＝4－1＝3. [答案]　0　3 (2)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋.若AC＝3，AB＝4，则·的值为________． [解析]　∵＝2，∴＝m＋＝m＋.∵P，C，D三点共线，∴m＋＝1，∴m＝. ·＝·(－)＝·＝2－2－·＝－－×4×3×cos ＝. [答案]　 (3)(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. [解析]　由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，则a·(b＋c)＝－a2，所以a·b＋c·a＝－12＝－1. 由b＋c＝－a，得(b＋c)2＝(－a)2，则b2＋2b·c＋c2＝a2， 即22＋2b·c＋22＝12， 所以b·c＝－，则a·b＋b·c＋c·a＝－. [答案]　－ 技法点拨 向量数量积的常用计算方法 (1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接运用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)． (2)基向量法：计算由基底表