专题5.3 平面直角坐标系（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.3 平面直角坐标系（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 特别解读：平面直角坐标系三要素：两条数轴、有公共原点、互相垂直. 【知识点2】点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 特别解读： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. （3）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 【知识点3】坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 特别解读： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 【知识点4】点坐标的特征 1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律 特别解读： （1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上. （2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0． （3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 3.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)． 4.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 【知识点5】建立平面直角坐标系 1.建立平面直角坐标系的基本思路 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴和y轴； （3）确定正方向、单位长度。 2.建立平面直角坐标系的基本方法 （1）使图形中尽量多的点在坐标轴上； （2）以某条特殊线段所在的直线为x轴或y轴,如三角形的高、中线等； （3）以对称图形的对称轴为x轴或y轴； （4）以某个已知点为原点,使其坐标为(0，0)。 特别解读：根据条件建立平面直角坐标系是确定点的坐标的必须过程，只有建立适当的平面直角坐标系的基础上，点的位置才能确定，这是数形结合的体现。 【考点一】平面直角坐标系➼➻写出点的坐标 【例1】（2023春·江西新余·七年级新余四中校考期中）已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． （1）点的纵坐标比横坐标大3； （2）点到轴的距离为2，且在第四象限． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意列出，解方程即可求解； （2）根据题意列出，再根据点在第四象限，即可求解． （1）解：根据题意有：， ∴， ∴； （2）∵， ∴或者， ∴或者， ∵点在第四象限， ∴． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一元一次方程的应用等知识，根据题意列出一元一次方程，是解答本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A，M的坐标分别为，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点N，则点N的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，由，可求点N的坐标． 解：由题意知，， ∵， ∴点N的坐标为， 故选：C． 【点拨】本题考查了勾股定理，点的坐标．解题的关键是掌握勾股定理． 【变式2】（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）已知线段平行于轴，且的长度为（在的右侧），若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】轴，则点的纵坐标与点的纵坐标相同，的长度为（在的右侧），则点的横坐标为． 解：如图所示．    因