专题4.8 实数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题4.8 实数（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点提醒：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【知识点2】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【知识点3】实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 【知识点4】实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【考点一】有理数与无理数 【例1】（2023秋·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）把下列各数填入相应的数集内． 正数集合：｛                                                            …｝ 无理数集合：｛                                                         …｝ 分数集合：｛                                                            …｝ 非负整数集合：｛                                                      …｝ 【答案】；；；； 【分析】有理数与无理数统称实数，实数分为正实数，0，负实数，整数与分数统称有理数，0与正整数是非负整数，根据概念逐一填入即可． 解：∵，，， 正数集合： 无理数集合： 分数集合： 非负整数集合：． 【点拨】本题考查的是实数的分类与概念，熟记实数的分类是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2022秋·广东河源·八年级统考期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中， 是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1）， ∴无理数的个数是4个， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键． 【变式2】（2023秋·福建漳州·八年级统考阶段练习）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点拨】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 【考点二】实数的性质 【例2】（2023春·吉林松原·七年级校考阶段练习）已知x、y都是实数，且，求的平方根 【答案】 【分析】先根据算术平方根的意义求出x的值，进而求出y的值，然后求出的值，再求平方根即可． 解：根据题意得 ∵，，和互为相反数， ∴，， ∴ ∴ ∴． ∴16的平方根是． 【点拨】本题考查了算术平方根和平方根的意义，以及相反数的定义，由算术平方根的意义得出，是解答本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2021春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考阶段练习）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据算术平方根、立方根的定义结合相反数的定义逐项判断即得答案. 解：A、，2与互为相反数； B、，，所以； C、与互为倒数； D、； 故选：A.