24.2.2 直线和圆的位置关系（第3课时）教学设计 2023-2024学年人教版数学九年级上册

24.2.2　直线和圆的位置关系 第3课时　切线长定理和三角形的内切圆 教材分析 本课时是在学习完切线的判定和性质以后，进一步研究切线的相关知识点，其中切线长定理又为学习三角形的内切圆提供理论支撑，体现了由浅入深、循序渐进的学习原则．由切线长定理可以推出线段，角，弧相等以及垂直关系等，三角形的内切圆则将三角形与圆结合起来进行研究．在学习切线长定理时要注意切线和切线长以及“内切”与“外接”的区分． 备课素材 一、导入新课 【情景导入】 同学们玩过悠悠球(如图1)吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？图2是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽象出什么样的数学图形(球的整体和中心轴可抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段)？这些图形的位置关系是怎样的？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 图1　　　　　图2 【说明与建议】　说明：通过同学们常玩的悠悠球来激起他们的学习兴趣，并进一步引出切线长及切线长定理．建议：教师在课前准备一个悠悠球，在课堂上直接展示，活跃课堂气氛．同时在抽象出数学图形的过程中，注意从上节课刚学过的切线的角度引导学生思考问题． 【置疑导入】 【操作】 第一步：在透明纸上画出⊙O，并画出过⊙O上点A的切线PA，连接PO. 第二步：沿着直线PO将纸对折，并用笔标出与点A重合的点，记为点B(如图)． 【思考】　(1)PB是⊙O的切线吗？ (2)判断图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系． 【说明与建议】　说明：通过实际动手操作激发学生探索切线长定理的求知欲，让学生从具体情景和实践操作中发现数学条件，进而解决问题．建议：学生操作并思考回答问题时，教师在学生回答的基础上，进一步引导学生从中发现解决问题的关键： (1)PB是⊙O的切线吗？ (2)若想得到PB是⊙O的切线，PB应满足什么条件？ (3)连接OB，OB是不是⊙O的半径？为什么？ (4)OB是否垂直于PB？为什么？ (5)点A与点B有怎样的位置关系？ (6)连接OA，∠OBP与∠OAP有怎样的关系？ 二、命题热点 命题角度1　运用切线长定理进行计算或证明 1．(西宁中考)如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝(B) A. 　　　　　 B．2 C．2 　　　　 　D．3 2．(荆门中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝70°，则∠ABO＝(B) A．30° B．35° C．45° D．55° 【提示】连接OA. 3．(临沂中考)如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为(C) A．110° B．120° C．125° D．130° 命题角度2　三角形内切圆的相关概念及其应用 4．(青海中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝1． 5．(泰州中考)如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3，6)，(－3，3)，(7，－2)，则△ABC内心的坐标为(2，3)． 三、数学文化拓展阅读 三角形的“心” 我们经常说要做个“有心”的人，在多边形的世界里，三角形就是一个非常“有心”的图形．三角形共有五种“心”． (1)重心：三条中线的交点；(2)外心：三边中垂线的交点，是三角形外接圆圆心的简称；(3)内心：三条角平分线的点 交点，是三角形内切圆圆心的简称；(4)垂心：三条高的交点，垂心的位置随三角形类型的不同而发生变化；(5)旁心：三角形旁切圆圆心的简称，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，显然，任何三角形都有三个旁切圆，三个旁心．当且仅当三角形为正三角形时，“重心、外心、内心、垂心”四心合一，称为正三角形的中心． 教学设计 课题 24.2.2　第3课时　切线长定理和三角形的内切圆 授课人 素养目标 1.掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算． 2．了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆. 3．会从数学的角度提出问题、理解问题，并会用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，在解题过程中，形成基本的解题策略，发展实践能力与创新能力. 教学重点 切线长定理及其应用. 教学难点 与切线长定理有关的计算和证明问题. 授课类型 新授课 课时 教学活动 教学步骤 师生活动 设计意图 回顾 问题： 1．已知△ABC，分别作三个内角的平分线，说说它们具有什么性质． 2．直线和圆有几种位置关系？切线的判定定理和性质定理的内容分别是什么？ 师生活动：教师引导学生进行解答，并适时补充和讲解． 教师总结：①三角形的三个内角的平分线相交于