24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）教学设计 2022—2023学年人教版数学九年级上册

24.2.2　直线和圆的位置关系 第2课时　切线的判定和性质 教材分析 本课时是在学习直线和圆的位置关系的基础上进一步深入研究直线和圆相切的情况，为后面研究切线长定理、三角形内切圆和正多边形与圆的关系打下基础．切线的判定定理和性质定理揭示了切线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直．两个命题互为逆命题．在学习的过程中要注意判定定理和性质定理的区分，并熟练掌握切线的两种证明方法以及勾股定理的应用． 备课素材 一、导入新课 【情景导入】 (1)用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然，这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球顺着什么方向飞出去了吗？ (2)如图1，下雨天，快速转动雨伞时，雨伞上的水珠是顺着什么方向飞出去的？ (3)观察图2，过⊙O上一点A作直线l，则直线l与⊙O有哪几种位置关系？ (4)观察图3，当所作直线l与OA垂直时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？ 　　　　　　　　　　　　　 　 图1　　 　　图2　　 　图3 【说明与建议】　说明：通过常见实际问题引入直线和圆相切，并通过作图来观察、探究切线．建议：在探究切线的判定方法时，注意引导学生理解“经过半径的外端”“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，可以采用提出“过半径的外端的直线是圆的切线”“与半径垂直的直线是圆的切线”这两个假命题让学生讨论、判断的方法来帮助学生理解． 【复习导入】 1．填写直线和圆的位置关系表： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点的个数 2 1 0 公共点名称 交点 切点 / 直线名称 割线 切线 / 圆心到直线的距离d与r的关系 d<r d＝r d>r 2.思考1：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？ 3．思考2：在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 【说明与建议】　说明：通过对直线和圆的位置关系的回顾，加强新旧知识之间的联系，通过探究两个思考问题，得出切线的判定定理和性质定理．建议：思考1和思考2可以让学生通过画图体会定理的正确性．要证明切线性质定理需要用反证法． 二、命题热点 命题角度1　证明圆的切线 1．(邵阳中考节选)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C.求证：AC是⊙O的切线． 证明：连接OA，∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB. ∵AB＝AC， ∴∠OBA＝∠C.∴∠OAB＝∠C. ∵∠CAD＝∠C， ∴∠OAB＝∠CAD. ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°. ∴∠OAC＝∠BAD－∠OAB＋∠CAD＝90°，即OA⊥AC. 又∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． 2．如图，OA＝OB＝13 cm，AB＝24 cm，⊙O的直径为10 cm.求证：AB是⊙O的切线． 证明：过点O作OC⊥AB，垂足为C， ∵OA＝OB＝13 cm，AB＝24 cm， ∴AC＝AB＝12 cm. 在Rt△OAC中，根据勾股定理，得 OC＝＝5 cm， ∵⊙O的直径为10 cm， ∴⊙O的半径为5 cm. ∴OC是⊙O的半径． ∴AB是⊙O的切线． 命题角度2　利用切线的性质进行计算或证明 3．(沈阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，当DC为⊙O的切线时． (1)求证：DC＝AC. (2)若DC＝DB，⊙O的半径为1，请直接写出DC的长为． 证明：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴CD⊥OD.∴∠ODC＝90°.∴∠BDO＋∠ADC＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO. ∴∠A＝∠ADC. ∴CD＝AC. 三、数学文化拓展阅读 如何测量圆的半径 如图，木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB＝8 cm.若读得BC的长为a cm，你能用含a的代数式表示r吗？ 教学设计 课题 24.2.2　第2课时　切线的判定和性质 授课人 素养目标 1.使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质． 2．能够运用切线的判定方法证明直线是圆的切线． 3．综合运用切线的判定定理和性质定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力. 4．解决与圆的切线相关的问题时，会用“数形结合”的思维去思考，会用添加辅助线的方法，学会从反面去思考，发挥逆向思维的作用. 教学重点 圆的切线的识别方法和圆的切线的性质. 教学难点 掌握