2024届高三数学一轮复习讲义之抛物线

课题：抛物线 知识点 1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上．它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线． 抛物线的标准方程：其焦点F的坐标，准线方程；或其焦点F的坐标，准线方程． 2．抛物线图像及其性质： 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 焦半径 范围 对称性 轴 轴 轴 轴 顶点 离心率 焦半径 焦点弦公式 3．直线和抛物线的位置关系： （1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ． 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 4．直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得[来源:Z*xx*k．Com] 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 【注】 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A（x1,y1），B（x2,y2），则： ①焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p 过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为 ⑤过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点． 点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是： 典型例题 例1抛物线的焦点到准线的距离为（　　） A． B． C．1 D．2 例2顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（　　） A． B． C．或 D．或 例3若抛物线上一点到它的焦点的距离为，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 例4已知双曲线经过抛物线的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线的离心率是（ ） A．2 B． C． D． 例5已知抛物线的准线与椭圆相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 例6直线与抛物线交于，两点，则（　　） A． B．8 C． D．16 例7已知等边（为坐标原点）的三个顶点在抛物线上，且的面积为，则（　　） A． B．3 C． D． 例8已知直线过抛物线：的焦点且与交于，两点，线段的中点关于轴的对称点在直线上，则（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例9已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则（　　）． A． B． C． D． 例10过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（       ） A．4 B．5 C．6 D．7 例11直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（       ） A．6 B．8 C．2 D．4 例12已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是（ ） A． B．2 C． D．3 例13已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为 ． 例14已知抛物线 的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为__________． 例15抛物线上一点的纵坐标为，则点到此抛物线焦点的距离为___________． 例16设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________． 例17如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求的最大值． 举一反三 1．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知抛物线的方程为 ，则此抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点到其准线的距离是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离是（　　） A．3 B