第三章圆的基本性质 圆与圆的对称性提高讲义2023-2024学年浙教版九年级上册数学

圆与圆的对称性 知识点讲解： 要点诠释 圆的认识 1.圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 定义②：圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 2.与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优孤、劣孤、等圆、等弧等。 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆，大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧。 3.圆的基本性质：①轴对称性；②中心对称性。 【例1】如图1，若点O为⊙O的圆心，则线段________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是________，________是劣弧；________是半圆。 【变式训练1】下列说法：①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧，正确的是________。（填写正确的序号） 【变式训练2】下列说法中，不正确的是（ ）。 A.过圆心的弦是圆的直径 B.等弧的长度一定相等 C.周长相等的两个圆是等圆 D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧 【例2】如图2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为________。 【变式训练3】点A、B在⊙O上，若，则________。 【变式训练4】如果圆的半径为3，则弦长x的取值范围是________。 【变式训练5】如图3，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且，CD的延长线交⊙O于点E。若，则∠BOE的度数是________。 【变式训练6】如图4，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I，F在OC上，点H，E在半圆上，可证：。小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明。 请回答：小云所作的两条线段分别是________和________； 证明的依据是矩形的对角线相等，________和等量代换。 要点诠释 点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有3种。设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有： （1）点P在圆外 （2）点P在圆上 （3）点P在圆内 2.点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 【例1】已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程没有实数根，则点P在________（填“圆内”“圆上”或“圆外”）。 【变式训练1】如图5，在矩形ABCD中，，，以顶点A为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则的取值范围是________。 【变式训练2】若点A到圆O上的点的最大距离为5cm，最小距离为3cm，则圆O的半径为________cm。 【变式训练3】如图6，在Rt△ABC中，，，，D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为________。 【变式训练4】如图7，△ABC，△ABD，△ABE都是以AB为斜边的直角三角形， 求证：（1）点A，D，B，C在同一个圆上 （2）点A，E，D，B在同一个圆上。 要点诠释 1.确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆。 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆。“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆。 2.三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫作三角形的外接圆。 （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫作三角形的外心。 （3）概念说明 ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点。 ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。 ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。 【例1】平面直角坐标系内的三个点、、，________确定一个圆，（填“能”或“不能”）。 【变式训练1】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，可以判断平面直角坐标系内的三个点、、________确定一个圆（填“能”或“不能”）。 【变式训练2】当点，，三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的