3.2.1双曲线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 1 一、课题导入 1. 椭圆的定义 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 平面内与两定点F1、F2的距离的 2. 椭圆的标准方程 焦点在y轴 焦点在x轴 |MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0) 巴西利亚大教堂 北京摩天大楼 法拉利主题公园 花瓶 罗兰导航系统原理 生活中的双曲线 二、引导探究1——双曲线的定义 问题 如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 思考： 1.动点运动的轨迹是什么？ 2.在运动过程中哪些量是变化的量？ 哪些量是不变量？ 3. 常数与|F1F2|的关系是什么？ 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 数学符号刻画： 若||MF1|-|MF2||=2a<2c，则点M的轨迹是双曲线. 2 F F 1 M 1.双曲线的定义 ① 两个定点F1，F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. ||MF1| - |MF2||=常数=2a（小于|F1F2|） 二、引导探究1——双曲线的定义 轨迹只是双曲线的一支 思考1：在双曲线的定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹还是双曲线吗？ o 此时 |MF1|-|MF2|=2a，|MF1|-|MF2|=-2a o 二、引导探究1——双曲线的定义 ① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？ ② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ ③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 分3种情况来看： 思考2：定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ F1 F2 M F1 F2 M 二、引导探究1——双曲线的定义 二、引导探究2——双曲线的标准方程 1.建系设点： 2.找动点满足的条件： 3.几何条件代数化： 4.化简整理 x F2 F1 M (P119,类比椭圆方程的推导) 焦点在x轴上 思考 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 焦点在x轴上 焦点在y轴上 二、引导探究2——双曲线的标准方程 ①分母是a2和b2, 但a、b大小关系不定(a>b, a<b, a=b). （1）焦点在x轴上： （2）焦点在y轴上： ②c2=a2+b2(c最大：c>a>0,c>b>0) ③哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁. ④焦点位置未知(或过两点)，可设为mx2+ny2=1(mn<0). 2.双曲线的标准方程 F2 F1 M x O y O M F2 F1 x y 二、引导探究2——双曲线的标准方程 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 双曲线与椭圆之间的区别与联系 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 由方程定焦点：椭圆看大小, 双曲线看符号 总结: 牛刀小试．根据方程，写出焦点坐标及a,b的值： 三、典型例题1 求双曲线的标准方程 例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 三、典型例题1 求双曲线的标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)焦点在x轴上，a=4，b=3 (2)焦点在x轴上，经过点 (3)焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点(2,-5) 类型一：已知双曲线上两个点的坐标，求双曲线方程 待定系数法：设双曲线方程为mx2+ny2=1 (mn<0) 类型二：已知双曲线的焦点坐标及双曲线上一个点M的坐 标，求双曲线方程 定义法：由 ||MF1|-|MF2||=2a 计算a的值 方法总结 三、典型例题2 双曲线标准方程的应用 方法总结 三、典型例题3 双曲线的定义的应用 ∴爆炸点P的轨迹是以A