2023-2024学年人教版九年级数学上册数学培优试卷（第21.22章）

2023年秋九年级上册数学培优试卷（一） （一元二次方程+二次函数） 测试时间：120分钟 时间满分：120分钟 一、选择题（共7小题，共28分） 1．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）＝a﹣b（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　） A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜b＜x2 C．a＜x1＜x2＜b D．a＜x1＜b＜x2 2．若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（　　） A．a＜0 B．a＞4 C．a＜0或a＞4 D．0＜a＜4 3．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°．若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　） A．﹣4＜k＜ B．﹣2＜k＜ C．﹣4＜k＜﹣1 D．﹣2＜k＜+1 第3题 第12题 第7题 第17题 4．已知xy≠1，且有5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则的值等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 5．若函数y＝x2﹣10x+16+|x2﹣10x+16|，当自变量x取1，2，3，…，10这10个自然数时，函数值的和是（　　） A．30 B．58 C．60 D．116 6．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2﹣（c2﹣a2﹣b2）x+b2＝0，则方程根的情况是（　　） A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定 7．如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，0），C（2，1），若二次函数y＝x2+2bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（　　） A．b≤﹣1 B．b≥﹣1 C．b＞﹣1 D．b＜﹣1 二．填空题（共10小题，共40分） 8．甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A和B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲的速度与乙的速度之比为　 　． 9．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 　 　（填写序号）． ①4a+b＝0；②5a+3b+2c＞0；③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个． 10．如果对于任何实数x，分式总有意义，那么c的取值范围是　 　． 11．设二次函数y＝x2+2ax+（a＜0）的图象顶点为A，与x轴交点为B、C，当△ABC为等边三角形时，a的值为　 　． 12．如图，A、B两地相距600km，过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸．点B到 A D的最短距离为3 60km．今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路．如 果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路 由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC＝　 km． 13．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8＝0，则△ABC的周长是　 　． 14．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y＝x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是　 　． 15．把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是 　 　． 16．不论m取任何实数，抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣1（x为自变量）的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是　 　． 17．如图，已知点A（3，0），B（1，0），两点C（﹣3，9），D（2，4）在抛物线y＝x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′．当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为 　 　． 三、解答题（共7小题） 18．（本题6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）＝0至少有一个整数根，求a的值． 19．（本题6分）已知a是正整数，如果关于x的方程x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56＝0的根都是整数，求a的值及方程的整数根． 20．（本题6分）m，n均为正整数，若关于x的方程4x2﹣2mx+n＝0的两个实数根都大于