第2章 函数 章末梳理(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

课堂检测􀅰固双基 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１. 在函数 ｙ ＝ １ ｘ２ ꎬｙ ＝ ２ｘ２ꎬｙ ＝ ｘ２ ＋ ｘꎬｙ ＝ ３ｘ 中ꎬ幂 函数的个数为 ( Ｂ ) Ａ. ０　 　 　 Ｂ. １　 　 　 Ｃ. ２　 　 　 Ｄ. ３ ２. 幂函数 ｙ ＝ ｘα(α∈Ｒ)的图象一定不经过 ( Ａ ) Ａ. 第四象限 Ｂ. 第三象限 Ｃ. 第二象限 Ｄ. 第一象限 ３. 已知幂函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘα(α 是常数)的图象过点 ２ꎬ１２ æ è ç ö ø ÷ꎬ则函数 ｆ(ｘ)的值域为 ( Ｃ ) Ａ. ( － ∞ ꎬ０) Ｂ. (０ꎬ ＋ ∞ ) Ｃ. ( － ∞ ꎬ０)∪(０ꎬ ＋ ∞ ) Ｄ. ( － ∞ ꎬ ＋ ∞ ) ４.幂函数 ｆ(ｘ)的图象过点(２ꎬ ２)ꎬ那么 ｆ(９)的值 是 　 　 　 . ５. 利用幂函数的性质ꎬ比较下列各题中两个值 的大小: (１)( － １. ５) ３ꎬ( － １. ４) ３ꎻ(２) １－ １. ５ꎬ １ － １. ４. 请同学们认真完成练案[２３] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章末梳理 知识结构􀅰理脉络 函数 基本性质 单调性 增函数 ｘ１ > ｘ２ 时ꎬ有 ｆ(ｘ１) > ｆ(ｘ２) 减函数 ｘ１ > ｘ２ 时ꎬ有 ｆ(ｘ１) < ｆ(ｘ２) 函数最值 最大值 最小值 奇偶性 奇函数 ｆ( － ｘ) ＝ － ｆ(ｘ) 偶函数 ｆ( － ｘ) ＝ ｆ(ｘ) 表示方法 解析法:用代数式(或解析式) 来表示函数关系的方法 图象法:用函数图象来表示函数关系的方法 列表法:列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法 函数概念 定义域 自变量 ｘ 的取值范围 值域 函数值构成的集合 对应关系 简单的幂函数 定义:ｙ ＝ ｘα(α 为常数) 简单幂函数的图象和性质 五个具体幂函数的图象和性质 090 {#{QQABJYaEggCoABJAAAgCQwUwCAKQkBAAACoORBAAoAIBgBNABAA=}#} 要点梳理􀅰晰精华 　 　 １.函数的传统定义与近代定义辨析 初中所学习的函数传统定义与高中的近代 定义之间的异同点如下: [不同点] 　 传统定义从变量变化的角度ꎬ 刻画两个变量之间的对应关系ꎻ而近代定义ꎬ则 从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的 对应关系. [相同点]　 两种对应关系满足的条件是相 同的ꎬ“变量 ｘ 的每一个值”及“集合 Ａ 中的每一 个数”ꎬ都有唯一一个“ｙ 值”与之对应. ２.函数三种表示方法的优缺点 三种表示法的特点(优缺点)比较如下: 解 析 法 优点 (１)简明、全面地概括了变量间的 关系 (２)可以通过解析式求定义域内 的任意自变量对应的函数值 缺点 不够形象、直观ꎬ且有些实际问题 的函数关系很难用解析式表示或 根本不存在解析式 图 象 法 优点 (１)直观、形象地反映出函数关系 变化的趋势 (２) 便于通过图象研究函数的 性质 缺点 只能近似地得到自变量对应的函 数值ꎬ有时误差较大 列 表 法 优点 查询方便ꎬ不需计算便可直接得 出自变量对应的函数值 缺点 (１) 只能表示有限个数的函数 关系 (２)数较多时使用不方便 　 　 并不是所有的函数都能用解析式表示(事 实上ꎬ图象法也不适用于所有函数ꎬ如 Ｄ( ｘ) ＝ ０ꎬｘ∈Ｑꎬ １ꎬｘ∈∁ＲＱ. { 列表法虽在理论上适用于所有函 数ꎬ但对于自变量有无数个取值的情况ꎬ列表法 只能表示函数的一个概况或片段) . ３.函数的定义域和值域 (１)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式ꎬ则函数的定义域 是使解析式有意义的自变量的取值范围ꎻ ②若已知 ｆ ( ｘ) 的定义域为 [ ａꎬ ｂ]ꎬ则 ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域为不等式 ａ≤ｇ( ｘ)≤ｂ 的解 集ꎻ反之ꎬ已知 ｆ[ｇ( ｘ)]的定义域为[ ａꎬｂ]ꎬ则 ｆ(ｘ)的定义域为函数 ｙ ＝ ｇ( ｘ) ( ｘ∈[ａꎬｂ])的 值域. (２)常见函数的值域 ①一次函数 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ(ｋ≠０)的值域为 Ｒꎻ ②二次函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ≠０):当 ａ > ０ 时ꎬ值域为 ４ａｃ － ｂ ２ ４ａ ꎬ ＋ ∞ é ë ê ê ö ø ÷ꎬ当 ａ < ０ 时ꎬ值域 为 － ∞ ꎬ４ａｃ － ｂ ２ ４ａ æ è ç ù û ú úꎻ ③反比例函数 ｙ ＝ ｋｘ ( ｋ≠０) 的值域为 {ｙ∈Ｒ ｜ ｙ≠０} . ４.函数单调性和奇偶性的重要结论 (１)当 ｆ(ｘ)ꎬｇ(ｘ)同为增(减)函数时ꎬｆ(