第1章 4.1 一元二次函数(学案)-【成才之路】2023-2024学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导（北师大版2019）

§ ４　 一元二次函数与一元二次不等式 素养目标 １. 理解一元二次方程与二次函数的关系. (数学抽象) ２. 掌握图象法解一元二次不等式. (直观想象) ３. 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (数学抽象) ４. 会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式. (数学运算) ５. 会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式. (逻辑推理) ６. 会解一元二次不等式中的恒成立问题. (数学运算) 学法解读 　 　 在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中ꎬ可以先以讨论具体的一元二 次函数变化情况为情境ꎬ使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系ꎬ引出一元二次不 等式的概念ꎻ然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系ꎬ 归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序. ４. １　 一元二次函数 必备知识􀅰探新知 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　基 础 知 识 知识点 １ 一元二次函数 　 　 １. 定义:一般地ꎬ把形如 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ ≠０) 　 　 　 (ａꎬｂꎬｃ 是常数)的函数叫作一元二 次函数ꎬ其中 ａꎬｂꎬｃ 分别称为 二次项系数　 、一 次项系数和 常数项　 . ２. 三种不同形式: (１)一般式:ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ≠０) . (２)顶点式:ｙ ＝ ａ(ｘ － ｈ) ２ ＋ ｋ(ａ≠０) . (３)交点式:ｙ ＝ ａ(ｘ － ｘ１)(ｘ － ｘ２)(ａ≠０) . 知识点 ２ 一元二次函数的性质 函数 一元二次函数 ｙ ＝ ａ(ｘ － ｈ) ２ ＋ ｋ(ａꎬｈꎬｋ 是常数ꎬａ≠ ０) 图象 ａ > ０ ａ < ０ 性质 抛物线开口向 　 　 　 ꎬ 并向上无限延伸 抛物线开口向 　 　 　 　 ꎬ并 向下无限延伸 对称轴是 ｘ ＝ 　 　 　 　 ꎻ 顶点坐标是 　 　 　 　 在区间( －∞ꎬｈ]上函 数值 ｙ 随 ｘ 的增大而 减小ꎬ在区间 　 　 　 上函数值 ｙ 随 ｘ 的增 大而增大 在区间( － ∞ ꎬｈ]上函数值 ｙ 随 ｘ 的增大而增大ꎬ在区 间 　 　 　 　 上函数值 ｙ 随 ｘ 的增大而减小 抛物线有最低点ꎬ当 ｘ ＝ ｈ 时ꎬ ｙ 有最小 值ꎬｙｍｉｎ ＝ 　 　 　 　 抛物线有最高点ꎬ当 ｘ ＝ ｈ 时ꎬｙ 有最大值ꎬｙｍａｘ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 思考:由函数 ｙ ＝ ａｘ２ (ａ≠０)的图象经过怎 样的变换就能得到函数 ｙ ＝ ａ( ｘ － ｈ) ２ ＋ ｋ(ａ≠ ０)的图象? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 041 {#{QQABLYaEoggAABIAAQhCQwUQCgGQkBAACIoOBAAEsAIBwANABAA=}#} 基 础 自 测 １. 二次函数 ｙ ＝ ４ｘ２ － ｍｘ ＋ ５ 的图象的对称轴为 直线 ｘ ＝ － ２ꎬ则当 ｘ ＝ １ 时ꎬｙ 的值为 ( Ｄ ) Ａ. － ７ Ｂ. １ Ｃ. １７ Ｄ. ２５ ２. 函数 ｙ ＝ －２(ｘ ＋１)２ ＋８ 的最值情况是 ( Ｃ ) Ａ. 最小值是 ８ꎬ无最大值 Ｂ. 最大值是 － ２ꎬ无最小值 Ｃ. 最大值是 ８ꎬ无最小值 Ｄ. 最小值是 － ２ꎬ无最大值 ３. 函数 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ｘ － ２ 的图象的顶点坐标是 　 　 　 　 　 　 　 　 . ４. 把函数 ｙ ＝ ｘ２ － ２ｘ 的图象向右平移 ２ 个单位 长度ꎬ再向下平移 ３ 个单位长度所得图象对 应的函数解析式为 　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 关键能力􀅰攻重难 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　题 型 探 究 题型一 一元二次函数的图象问题 　 　 典例 １ (１)将抛物线 ｙ ＝ ( ｘ － １) ２ ＋ ２ 先向右平移 ３ 个单位长度ꎬ再向上平移 ５ 个单 位长度得到的抛物线解析式是 ( Ａ ) Ａ. ｙ ＝ (ｘ －４)２ ＋７ Ｂ. ｙ ＝ (ｘ －４)２ －３ Ｃ. ｙ ＝ (ｘ ＋２)２ ＋７ Ｄ. ｙ ＝ (ｘ ＋２)２ －３ (２)已知一元二次函数 ｙ ＝ － ｘ２ － ２ｘ ＋ ３. ①求出此函数图象与坐标轴的交点坐标ꎻ ②指出此函数图象的顶点坐标和对称轴ꎻ ③根据①②画出此函数图象的草图.