专题09 椭圆的标准方程6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(苏教版2019选择性必修第一册)

专题09 椭圆的标准方程6种常见考法归类 1、椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 注意点： (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值． (2)定值必须大于两定点的距离． (3)当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在． 2、椭圆的标准方程 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0，±c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 注意点： 焦点位置由a2，b2的大小确定． 表示椭圆的充要条件为：； 3、椭圆的焦点三角形 （1）定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 （2）一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题 （设为） 性质1：，.（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理） 4、椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． 5、求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 6、椭圆方程的设法 求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)； 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)； 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解． 7、直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题． 8、相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)． (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. (3)将x0，y0代入其所在的曲线方程． (4)化简方程得所求方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 椭圆的定义及应用 考点二 椭圆方程的充要条件 考点三 求椭圆的标准方程 考点四 椭圆的焦点三角形问题 考点五 椭圆上的点到焦点和定值距离的最值问题 考点六 与椭圆有关的轨迹问题 考点一 椭圆的定义及应用 1．【多选】（2023·全国·高二专题练习）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 2．（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 3．（2023·全国·高三专题练习）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 4．（2023·江苏·高二专题练习）平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么（　　） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 5．（2023秋·高二单元测试）是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任一焦点向的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．（2023·全国·高二专题练习）以为圆心的动圆与圆和圆均相切，