28.2.1解直角三角形 教学设计 2022－2023学年人教版九年级数学下册

28.2.1 解直角三角形 教学目标:1、了解并掌握解直角三角形的概念; 2、 理解直角三角形中的五个元素之间的联系; 3、 学会解直角三角形。 教学重点:理解解直角三角形的概念及五元素之间的联系 教学难点:根据元素间的关系,选择适当的关系式解直角三角形 教学过程设计: 1、 问题情境创设 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,按下列条件解直角三角形。 (1)若a=36,∠B=30°,求∠A的度数和边b、c的长; (2)若a=6,b=6,求∠A、∠B的度数和边c的长。 (3)拓展:在上述两个解决直角三角形的问题中,分别给出了一锐角、一直角边或两直角边的值,来求解直角三角形中其它的边角的值。如果给出其它的两个元素的值:一锐角和斜边的值或一直角边和斜边的值或两锐角的度数,能否求出直角三角形剩下的边和角的值呢?举例说明。 二、学生自主探究 学生可能的答案: 解:(1)在Rt△ABC中,∵∠B=30°,a=36, ∴∠A=90°-∠B=60°, ∵cosB=,即c===24, ∴b=sinB·c=×24=12; (2)在Rt△ABC中,∵a=6,b=6, ∴tanA==, ∴∠A=30°, ∴∠B=90°-30°=60°,c=2a=12。 (3) 举例说明:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A=60°,c=10,则是可以求出其它的边角的值的,解决如下:由∠A=60°可求出∠B=30°,于是b=c=×10=5,再利用勾股定理求出a=5,或利用a=c×sinA=10×=5。 …… 三、师生共同辨析 1、师生对第1题和第2题进行细致的分析,在分析中研究各个相关知识的运用过程, 在讨论中总结解决此类问题所涉及到的所有知识。 2、第3题的解决仅限于探讨方法,不解出结果,通过这样的研究方式来说明其它三种情况能否解直角三角形即可。 3、通过辨析,形成共同认识一:在直角三角形中,知道除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未知元素,我们就把这种求解直角三角形的过程叫做解直角三角形。出示课件,给出解直角三角形的定义: 由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形。 共识二:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,那么除直角C外的5个元素之间有什么关系? 答:(1)三边之间的关系:a2+b2=c2; (2) 两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3) 边角之间的关系:sinA=,cosA=,tanA=,sinB=,cosB=,tanB=。 这些知识就是解直角三角形的知识基础。 4、 课堂精题精练 1、 在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形。 (1) AB=10,BC=5; (2) ∠B=30°,b=20。 2、如图:已知AC=4,求AB与BC的长。 3、如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,BC=5,试求AB的长。 学生可能的答案: 1、 (1)解:∵, ∴∠A=30°。 ∴∠B=90°-∠A=60°。 根据勾股定理得:。 (2)解:∠A=90°-∠B=90°-30°=60°。 ∵tanB=, ∴。 ∵sinB=, ∴。 2、解析:过点C做CD⊥AB于D,则可以构建出Rt△ACD,Rt△BCD,根据题意,在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=4,则Rt△ACD可解,进而得到边CD的值,从而为Rt△BCD的可解提供了必备的条件,于是问题得解。 3、解析:由cosA=可得:,则AB=3AC,再根据勾股定理得:AC2+BC2=AB2,则AC2+52=(3AC)2,可求出AC的值,进而求出AB的长。 授课备注: 1、 在学生做题期间,教师巡视课堂,及时发现学生在做题当中遇到的各种问题,同时指导解题有困难的学生,做到学生问题心中有数。 2、 辨析问题时,由学生尝试分析解答,教师要注意到解题方法的多样性,让学生灵活的运用所学解决问题,最终能够通过比较获得较简便的方法和途径。 3、 学生板演解题过程,教师要在解题过程的完整性与规范性上给以指导。 5、 评价与反思 1、 明确解直角三角形的知识依据: (1)三边之间的关系:a2+b2=c2; (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间的关系:sinA=,cosA=,tanA=,sinB=,cosB=,tanB=。 2、解直角三角形的数学意识: (1)知二求三的意识; (2)当题目中无直角三角形时,需要合理的构建直角三角形的意识; (3)尽量使用原始数据,避免一错再错。 六、作业布置 教材77页第1、2、6题。 七、拓展延伸 1、在△ABC中,∠C=90°,若∠B=2∠A,b=3,则a=( ) A、 B、6 C、 D、 2、如图、在△ABC中