3.3.1 抛物线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程 1 一、课题导入 1.椭圆：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 |PF1|+|PF2|=2a > 2c 2.双曲线：在平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。 ||PF1|-|PF2||=2a < 2c 二、引导探究——抛物线的定义 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上) F l M M M 当 0<e<1 时, 轨迹是椭圆 当 e>1 时, 轨迹是双曲线 当 e=1时, 轨迹是？ 回顾：一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的距离之比为常数e, 点M的轨迹是什么？ 二、引导探究——抛物线的定义 ┑ ┑ ┑ l ┑ F 抛物线 抛物线的焦点 抛物线的准线 一个动点M 到一个定点F 和一条定直线l 的距离之比为常数e=1, 点M的轨迹是抛物线. M d 二、引导探究——抛物线的定义 M · F l · e=1 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 定点F叫抛物线的焦点, 定直线l 叫抛物线的准线 |MF|=d d 为 M 到 l 的距离 准线 焦点 d 思考：l为什么不经过点F？ 当l过F时轨迹为过F的一直线 1.抛物线的定义 注意：(1)判断抛物线的一种方法 (2)抛物线上任一点的性质：|MF|=d 二、引导探究——抛物线的定义 二、引导探究——抛物线的标准方程 1.建系、2.设点、3.找条件、4.代入、5.化简 类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，怎样求抛物线的标准方程？ 那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简单,其标准方程形式怎样? (1) (2) (3) l F K M N l K M N l F K M N x x x y y y o o o 建系方案 F x l F y O M(x, y) K H ┑ ┑ p 1.建系：以过F且垂直于l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy. 5.化简: 3.找条件： |MF|=d 2.设点: 4.代入: 二、引导探究——抛物线的标准方程 2.抛物线的标准方程 其中p为正常数， p的几何意义： 焦点F到准线l的距离, 称为焦准距. l F y x O 方程 y2 = 2px(p＞0) 叫做抛物线的标准方程. 它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上, 其中焦点 F( ,0)，准线方程l：x = 二、引导探究——抛物线的标准方程 y x o 探究：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置(即：开口方向)不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有哪些形式？ 请你完成课本第131页的表格. 二、引导探究——抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点位置 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2=2px (p＞0) y2=-2px (p＞0) x2=2py (p＞0) x2=-2py (p＞0) x轴的 正半轴上 x轴的 负半轴上 y轴的 正半轴上 y轴的 负半轴上 四种抛物线及其标准方程 p的含义：焦点F到准线l的距离. 一次定焦点， 正负定开口. “三看”一次项： 看焦点位置 (变量+系数正负) 看对称轴 (变量) 看开口方向 (系数正负) 求焦点坐标 (1/4系数) 求准线方程 (相反数) 牛刀小试 的准线方程？ 的焦点坐标？ 的焦点坐标？ 1. 抛物线的准线方程是x = －4, 则它的标准方程为 . 焦点坐标为 . 2. 抛物线 y = 2x2 的焦点坐标是 . y2 = 16x (4, 0) 三、典型例题1 求抛物线的标准方程 例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程. 解: 定形(抛物线焦点位置)； 定量(参数p的值) 例2 求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程. A O y x 解：设抛物线的方程为x2 =my(m ≠0) ，把A(-3,2)代入，得m= 当抛物线的方程为y2 = mx (m ≠0) ，把A(-3,2)代入，得m= 三、典型例题2 求轨迹方程 三、典型例题3 抛物线的最值问题 解： K x y Q 2 F O 4 P 四、课堂小结 图像 标准方程 焦点 准线 定义 焦半径 y2