13.4 课题学习：最短路径问题教学设计 2023—2024学年人教版数学八年级上册

13.4课题学习《最短路径问题》教学设计 一、教学背景分析 【教材内容】最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 【课标要求】《数学课程标准》指出："模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。"数学建模是初中数学的重要任务之一，它是培养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的教学手段。初中学生的数学建模能力普遍很弱，要想提高学生的建模能力，我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有的知识出发，让学生直接接触数学建模，培养学生抽象能力以及运用数学知识能力。现实生活中问题是很复杂的，有些问题表面看来麾无相同之处，但抽象为数学模型，本质都是相同的，这些问题都可以用类似的方法解决。本节课的教学中注重模型归类，多题一模，一题多变，训练学生归纳能力，培养学生数学建模能力和思想。 【教材分析】本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。 【学情分析】学生已经学习图形的认识，三角形的全等，轴对称及等腰三角形等有关图形与几何的内容，学生对图形识别、分析能力、理解能力有明显提高，但由于学习这部分的知识比较抽象，与实际问题联系较大，故部分学生可能理解起来较为困难，所以要做好预习工作。本班大部分学生学习数学的热情比较高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。但个别学生基础较弱，能力差异较大需做好后进生关注。 二、目标 【教学目标】1.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质。 2.运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法。 3.在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。 【教学程序】探索新知—运用新知—拓展新知—小结提升—课堂检测 【教学重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 【教学难点】探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。 【教学策略】通过创设问题情境，引导学生复习知识点，归纳总结解决问题的方法，找出解决最短路径问题的突破点。 【课前准备】三角尺，多媒体课件 【课的类型】新授课 【课时安排】1课时 三、教学活动 教学环节 教学活动设计 设计意图 教师活动 学生活动 一、温故知新 ( A B ① ② ③ )1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？ ②最短，依据：两点之间，线段最短 ( P l A B C D )2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？ PC最短，依据：垂线段最短 3.三角形三边关系：两边之和大于第三边 ( A )4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ ( l ) 5.如图，A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使得PA＋PB最小． 学生课前完成 以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣. 二、探索新知 ( A )问题提出：如图，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ ( B ) ( l ) 引导学生将实际问题转化为数学问题 ( A ) ( B ) ( l )如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线l上的一个动点，当点P 在直线l 的什么位置时，AP+PB 最短？. 引导学生将问题转化为课前复习第5题的形式，提问如何转化，转化中要注意什么？依据是什么？ 作法： (1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l相交于点P.则点P即为所求 提问：为什么最短？如何说明它是最短的？ 方法归纳： （1） 当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点； （2） 当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点（将折线转化为直线） 练习提升： 1. 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ） 2.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确