2.5微专题 与圆有关的最值问题 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5 微专题 与圆有关的最值问题 一、圆上动点到定点距离的最值 二、圆上动点到定直线距离的最值 例1　(1)已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为_____. 4 三、过圆内一点的弦的最值 例2　(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为______. 四、过圆外一点的切线长的最值 例3 若过直线l:x－y－3=0上一点P引圆C(x+1)2+y2=2的切线，相切于点A、B， (1)求切线长|PA|的最小值. (2)求四边形PAOB面积的最小值. (3)求两切线的夹角的最大值； (4)求|PA|最短时，切点间的距离|AB|; 切线长的最小值＝ . 5.过圆外一点的切线长的最值 [例8]若过直线l:x－y－3=0上一点P引圆C(x+1)2+y2=2的切线，相切于点A、B， (1)求切线长|PA|的最小值. (2)求四边形PAOB面积的最小值. (3)求两切线的夹角的最大值； (4)求|PA|最短时，切点间的距离|AB|; 1. 过圆x2 + y2 = r2上一点P(x0, y0)的切线方程为 2. 过圆(x-a)2 + (y-b)2 = r2上一点P(x0, y0)的切线方程为 切线方程相关结论 3. 过圆x2 + y2 +Dx+Ey+F= 0上一点P(x0, y0)的切线方程为 切点弦方程相关结论 1. 过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0, y0)引圆的两条切线，切点分别为A, B，则切点弦所在直线AB的方程为 2. 过圆(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2外一点P(x0, y0)引圆的两条切线，切点分别为A, B，则切点弦所在直线AB的方程为 切点弦方程相关结论 3. 过圆x2＋y2+Dx+Ey+F= 0外一点P(x0, y0)引圆的两条切线，切点分别为A, B，则切点弦所在直线AB的方程为 切点弦方程相关结论的运用 切点弦方程相关结论的运用 例4　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. (1)求x2＋y2 的最大值和最小值； 五、利用数学式的几何意义求解最值问题 (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； (5)求x＋y的最大值与最小值. 大本73页 (3)求 的最大值和最小值； (4)求 的最大值和最小值； (7)求|x＋y+2|的最大值与最小值. (6)求2x＋y的最大值与最小值. 13 14 15 练习　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是 16 17 (2)在平面直角坐标系Oxy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则 (x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为 A. B. C. D. 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 1．形如u＝eq \f(y－b,x－a)的最值问题，转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． 2．形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 3．形如l＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线y＝－eq \f(a,b)x＋eq \f(l,b)截距的最值问题． 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 解：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. ∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即16≤x2＋y2≤36. ∴d的最小值为2×16＋2＝34. 最大值为2×36＋2＝74. A.y－x的最大值为－2 B.x2＋y2的最大值为7＋4 C.的最大值为 D.x＋y的最大值为2＋ $$