第07讲直线与椭圆的位置关系 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二数学同步辅导讲义 第07讲 直线与椭圆的位置关系 【必备知识】 1 直线与椭圆的位置关系： 直线与椭圆的位置关系的判断方法：联立；消去得到一个关于的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 的取值 两个不同的公共点 两解 一个公共点 一解 没有公共点 无解 2 弦长公式：设弦的端点坐标为直线的斜率为,则 【题型精讲】 【题型一 弦长问题】 【题1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）依题意设椭圆的方程为（），即可得到关于、、的方程组，解得、，即可得解； （2）首先得到直线的方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，最后利用弦长公式计算可得. 【详解】（1）依题意设椭圆的方程为（）， 则，解得，所以椭圆方程为. （2）依题意直线的方程为，设、， 由，消去整理得， 则，所以，， 所以.    【题2】已知椭圆的左焦点为，直线l：与椭圆C交于A、B两点． (1)求线段AB的长； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）把直线方程代入椭圆方程，求得交点坐标，可求线段AB的长； （2）结合（1）的结论，利用点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）联立，或， 当时，， 当时，，不妨设， ； （2）由，    点到直线的距离为， 所以的面积为. 【题3】直线与圆相切，并与椭圆交于两点，若，求的值． 【答案】±1 【分析】将直线与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理及直线与圆相切的条件，结合点到直线的距离公式及弦长公式即可求解. 【详解】由题意可知，作出图形如图所示    设， 由，消去y，得， 因为直线与椭圆相交， 所以，即， 且 又直线与圆相切， 则，即． 而 ， 又，所以， 即，解得，且满足， 故的值为. 【题4】已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分． (1)求直线的方程； (2)求弦的长． 【答案】(1)；(2)5 【分析】（1）利用点差法计算直线的斜率，再用点斜式求直线方程即可； （2）利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设交点坐标， 因为弦被点平分， 所以 又， 两式相减得：）， 所以直线的斜率， 故直线的方程为 （2）由（1）可知，与椭圆方程联立， 所以， 由弦长公式可知. 【题型二 定点定值问题】 【题1】已知离心率为的椭圆与x轴，y轴正半轴交于两点，作直线的平行线交椭圆于两点. (1)若的面积为1，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，记直线的斜率分别为，，求证：为定值； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由离心率、椭圆参数关系及三角形面积列方程组求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）设直线CD为且，联立椭圆方程并整理，应用韦达定理及并化简即可证. 【详解】（1）由题设，即①，又②， 由①②解得，故椭圆的标准方程是 （2）设直线CD为代入，整理得， 则，则， 设，则，    所以 为定值. 【题2】已知动点到定点的距离与到定直线：的距离之比为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)已知曲线与轴的正半轴交于点，不与轴垂直的直线交曲线于两点（，异于点），直线分别与轴交于两点，若的横坐标的乘积为，则直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)l过定点，. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简作答. （2）设出直线的方程及点的坐标，联立直线与曲线的方程，求出点的横坐标，由已知结合韦达定理求解作答. 【详解】（1）依题意，，化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）设直线的方程为， 由消去y得，当时，，    由，得，则直线的方程为，令，得点的横坐标， 直线的方程为，令，得点的横坐标， 于是， 即， 则有，化简得，解得或（舍去），所以直线的方程为，直线恒过定点. 【题3】已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 【答案】(1);(2)证明见解析. 【分析】（1）根据条件求出的值即可； （2）联立直线方程和椭圆方程后利用两直线垂直可算出. 【详解】（1）由题意得：，，， 故可知， 椭圆方程为：. （2）   M为椭圆C的左顶点， 又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，， 联立方程可得：， 则，即， 由韦达定理可知：，，，则， ，又， ， ， 展开后整理得：，解得：或， 当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去， 当时，AB的方程为：，恒过定点.所以直线过定点． 【题4