第六章２ 反比例函数的图象和性质-【良师教案】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

２　反比例函数的图象与性质 第１课时　反比例函数的图象与性质（１） １．会用描点法画反比例函数的图象． ２．结合图象分析并掌握反比例函数的性质． ３．体会分类讨论思想、数形结合思想的运用． ４．体会函数的表示方法,领会数形结合的思想方法． ５．在动手作图的过程中体会其中的乐趣,养成勤于动手、乐于探索的习惯． 重点 理解并掌握反比例函数的图象和性质． 难点 正确画出图象,通过观察、分析归纳出反比例函数的性质． 多媒体课件、作图工具． 讨论、合作,讲练结合． 一、复习回顾,引入新课 １．画出函数y＝３x＋１的图象． ２．求函数y＝３x＋１的图象与x 轴、y 轴的交点的坐标． 列表:(由于一次函数的图象是一条直线,所以只需找两点即可) x ０ － １ ３ y １ ０ 　　描点:以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点． 连线:连接两点即可得y＝３x＋１的图象,令x＝０,则y＝１,故一次函数的 图象与y 轴交点的坐标为(０,１)．令y＝０,得x＝－ １ ３ ,故一次函数的图象与x 轴交点的坐标为(－ １ ３ ,０)． ３５２ 　第六章　反比例函数 {#{QQABJYaEogCAAhBAAAgCUwFCCAGQkAEAAKoOABAIsAABwAFABAA=}#} 这个过程由学生独立思考、操作、交流、回答,教师可与学生讨论交流,并向 学生提问． 问:什么叫做反比例函数? 学生:如果两个变量x、y 之间的关系可以表示成y＝ k x (k 为常数,且k≠ ０)的形式,那么y 是x 的反比例函数．反比例函数的自变量x 不能为零． 让学生猜想反比例函数的图象是什么样的,让学生自己尝试作反比例函数 y＝ ６ x 、y＝ ４ x 、y＝－ ６ x 、y＝－ ４ x 的图象． 二、例题讲解 【例１】　画出反比例函数y＝ ６ x 与y＝－ ６ x 的图象． 教师应重点关注以下问题: (１)学生能否顺利进行几种表示方法的相互转换; (２)是否熟练掌握了作出函数图象的主要步骤,会作反比例函数的图象; (３)在动手作图的过程中,能否勤于动手,乐于探索． 反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象,而且反比例函数的图象 是由断开的两支曲线组成的,我们从描出的点的变化趋势可以看出,切记不能用 直线连接． 师生共析:用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连接起来,就 可得到下图． 问:观察画出的图象,思考y＝ ６ x 与y＝－ ６ x 的图象有什么共同的特征? 它 们之间有什么关系? (教师在学生思考、回答后指出反比例函数的图象是双曲 线,是轴对称图形,各有两条对称轴,它们都不会经过原点) 反比例函数y＝ k x 的图象是由两支曲线组成的,当k＞０时,两支曲线分别 位于第一、三象限;当k＜０时,两支曲线分别位于第二、四象限． 【例２】　已知反比例函数y＝(m－１)xm２－３的图象在第二、四象限,求m 的 值,并指出在每个象限内y 随x 的变化情况． 分析:此题要考虑两个方面,一是反比例函数的定义,即y＝kx－１(k≠０)中 自变量x 的指数是－１;二是根据反比例函数的性质,即当图象位于第二、四象 限时,k＜０,则m－１＜０,不要忽视这个条件． 解:∵y＝(m－１)xm２－３是反比例函数,∴m２－３＝－１,且m－１≠０． 又∵图象在第二、四象限,∴m－１＜０, ４５２ {#{QQABJYaEogCAAhBAAAgCUwFCCAGQkAEAAKoOABAIsAABwAFABAA=}#} 解得m＝± ２,且m＜１,则m＝－ ２． 在每个象限内,y 随x 的增大而增大． 反比例函数y＝ k x 的图象,当k＞０时,在每一个象限内,y 的值随x 的增大 而减小;当k＜０时,在每一个象限内,y 的值随x 的增大而增大． 【例３】　如图,过反比例函数y＝ １ x (x＞０)的图象上任意两点A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、OB,设△AOC 和△BOD 的面积分别 是S１、S２,比较它们的大小,可得 (　　) O C D A B x yA．S１＞S２　　　 B．S１＝S２ C．S１＜S２　　　 D．大小关系不能确定 分析:从反比例函数y＝ k x (k≠０)的图象上任一点P(x,y)分别向x 轴、y 轴作垂线段,与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S＝ xy ＝ k ,由此可得S１＝ S２＝ １ ２|k| ,故选B． 【例４】　函数y＝－ax＋a 与y＝ －a x (a≠０)在同一坐标系中的图象可能是 (　　) 分析:由一次函数与反比例函数的图象及性质可知,只有 B 选项满足, 故选B． 【例５】　在平面直角坐标系内,过反比例函数y＝ k x (k＞０)的图象上的一 点分别作x 轴、y 轴的垂线段,与x 轴、y 轴所围成的矩形的面积是６