第四章２ 平行线分线段成比例-【良师教案】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（北师大版）

２　平行线分线段成比例 １．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵 活应用． ２．使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理． ３．通过学习定理再次温习类比的数学思想,使学生能把一个稍复杂的图形 分成几个基本图形,以此提高学生的识图能力和推理论证能力． ４．通过定理的学习使学生知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能 欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣． 重点 平行线分线段成比例定理和推论及其应用． 难点 平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用． 刻度尺、圆珠笔、铅笔、橡皮、多媒体课件等． 问题教学法、观察法、合作探究式教学法等． 一、复习引入 教师多媒体课件出示: １．求下列各式中x∶y 的值． (１)３x＝７y;(２)y＝ ６ ５x ;(３)y∶x＝４∶７． ２．已知x∶２＝y∶３＝z∶６,求(x＋y－z)∶(４x＋６y＋z)． 教师找两位学生分别板演１、２题,其余同学在下面做答,教师巡视,然后集 体订正． 二、共同探究,获取新知 师:平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢? 生:􀆺􀆺 教师出示多媒体课件: 已知:如图,过△ABC 的AB 边上任意一点D 作直线DE 平行于BC,交 AC 于点E,求证: AD DB＝ AE EC． ５４１ 　第四章　图形的相似 {#{QQABLYYAogCIABBAAAgCUwUiCAKQkBAAAKoOxAAIoAABQRFABAA=}#} 师:你能证明这个问题吗? 学生思考、讨论． 教师边操作边讲解:我们可以作辅助线,连接BE、CD, 再过点E 作AB 上的垂线段h． 师:现在你能想出AD DB 可以转化为哪两个三角形的面积之比吗? 学生思考后回答:能,可以转化为△ADE 和△BDE 的面积之比． 师:你是怎样得到的呢? 生:△ADE 的面积等于AD 与h 乘积的一半,△BDE 的面积等于BD 与h 乘积的一半,所以AD DB＝ １ ２AD 􀅰h １ ２DB 􀅰h ＝ S△ADE S△DBE ． 师:你回答得太好了! 我们要证的是AD DB＝ AE EC ,我们把AD 与DB 的比转 化为两个三角形的面积之比．下面再证出什么就能得到结论了? 学生思考后回答:再证出S△ADE S△DBE ＝ AE EC． 师:对,你们太聪明了! 怎么证明这个相等关系呢? 生:过点D 向AC 边作垂线,与前面同理可证出这个相等关系． 师:很好! 这样我们就证出了AD DB＝ AE AC． 由这个比例式,你能推出哪些线段 也是成比例的? 还有哪些比例式也是成立的呢? 学生思考,教师提示． 生甲:AD AB＝ AE AC． 生乙:AB DB＝ AC EC． 师:对! 上面的图形,也可看作是直线BC 平行于△ADE 的一边,并与另外 两边的延长线相交而得到的．于是我们得到一个定理． 教师提示大家读出书上的推论,并板书: 定理:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例． 师:这个定理可推广成一般的形式． 教师出示多媒体课件: 已知:如图,直线l１∥l２∥l３,直线AC、DF 被这三条直线分别截于点A、B、C 和 ６４１ {#{QQABLYYAogCIABBAAAgCUwUiCAKQkBAAAKoOxAAIoAABQRFABAA=}#} D、E、F,求证: AB BC＝ DE EF． 师:直线AC、DF 被这三条直线所截,不止一种 结果．因为不同情况下的证明方法不同,所以我们要 对截得的结果分类,被截的情形有哪几种呢? 学生思考、讨论． 生甲:AC 与DF 平行． 生乙:AC 与DF 不平行,但它们在l１ 与l２ 间不相交． 生丙:AC 与DF 相交在l１ 或l３ 上． 生丁:AC 与DF 相交在两条平行线间． 师:下面我们分别就这几种情况进行讨论．先看平行时,怎么证明这个结 论呢? 生:根据夹在两条平行线间的平行线段相等得到AB＝DE,BC＝EF,所以 AB∶BC＝ DE∶EF． 师:很好! 如果AC 与DF 不平行且在l１ 与l２ 间不相交时,又该如何证 明呢? 学生思考,然后教师找一名学生上台板演,其余同学在下面做题,然后集体 订正． 证明:过点A 作DF 的平行线,分别交l２、l３ 于点E′、F′． 这时有AB BC＝ AE′ E′F′ ,而四边形AE′ED 和四边形E′F′FE 都是平行四边形, 所以AE′＝DE,E′F′＝EF,因而可得 AB BC＝ DE EF． 其余两种情况类似可证． 师:于是我们得到如下定理: (教师板书) 平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成 比例． 三、继续探究,层层推进 师:在这个定理中,当AB BC＝１ 时,有DE EF＝１ ,即当AB＝BC 时,有DE＝EF,