第十一章 三角形 单元知识链接 2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形—2023-2024学年人教版数学八年级上册单元知识链接 【单元学习目标】 1.理解三角形及其内角、高、中线、角平分线等概念，了解三角形的分类，会画任意三角形的高、中线、角平分线. 2.理解三角形三边之间的关系并会证明，能利用该关系判断已知线段能否组成三角形. 3.会运用平行线的性质与平角的定义证明三角形三个内角和等于180°. 4.掌握“直角三角形的两个锐角互余”“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 5.理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质，并会运用三角形内角和定理及其外角性质进行相关计算和证明. 6.掌握多边形的内角和与外角和公式，能灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决有关问题. 【单元思维导图】 【单元知识梳理】 三角形的分类及有关性质 分类 按角分： 按边分： 性质 三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 角的关系： （1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. （2）内外角关系： a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图， b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 如图， C.直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形具有稳定性 与三角形有关的重要线段 名称 图形 性质 重要结论 中线 三角形的三条中线的交点在三角形的内部，这个点称为重心.中线将三角形分成两个面积相等的三角形 高 ，即 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高的交点是直角的顶点； 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，这个点称为垂心 角平分线 三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，这个点称为内心 多边形及其相关概念 名称 概念 多边形 在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 内角 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 外角 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 凸多边形 画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形叫做凸多边形 正多边形 各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形. 【拓展延伸】 （1）多边形有几条边就是几边形，且顶点个数、内角个数均与边数相同，外角个数是边数的2倍. （2）从边形的一个顶点可以引出条对角线，引出的对角线将边形分成个三角形，边形有个顶点，共有条对角线. 【易错点津】 （1）三角形没有对角线. （2）正多边形必须满足定义中的两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等.二者不可缺一.如果一个多边形的各个角都相等或每条边都相等，那么这个多边形不一定是正多边形，如长方形. 多边形的内角和 内容 推理过程 应用 方法 图形 边形内角和等于 . 方法1：如图所示，从边形的一个顶点引出条对角线，这条对角线把边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，所以变形的内角和是. （1）已知边数，求内角和. （2）已知内角和，求边数. （3）已知正边形每个内角的度数.求边数和内角和. 方法2：如图所示，在边形内任取一点P，连接，把边形分成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得边形的内角和是. 方法3：如图所示，在边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去在点P处的一个平角，即. 【拓展延伸】 利用多边形的内角和公式求边数（此类题都隐含着边数为正整数这个条件），相当于解一元一次方程. 【规律方法】 （1）多边形内角和公式的推理过程是将多边形的内角进行分割，然后把它们放到三角形中，随着点P的位置不同所得三角形个数也不同，但以上几种证明方法都是把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决. （2）任意多边形的内角和是的整数倍，且多边形每增加一条边，它的内角和就增加，正边形每个内角的度数是. 多边形的外角和 内容 推导过程 应用 多边形的外角和等于 多边的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加上外角和为，外角和等于 （1）已知外角度数求正多边形的边数. （2）已知正多边形的边数求外角度数. 【拓展延伸】 （1）多边形的外角和恒等于，与边数多少无关. （2）正边形的每个内角都相等，则每个外角也相等，其外角和为，所以正变形的每个外角度数都为. （3）正多边形的内角相等，隐含着外角也相等这一条件，利用这种隐含关系求正多边形的边数比直接利用内角和求边数要简单. （4）添加：根据多边形外角和是可推得多边形的外角中最多有三个钝角，与之对应，多边形的内角中最多有